Är detta riktigt? (Matematik/Matte 3/Derivata)

Kan du beskriva din plan?

Vad har du gjort och varför har du gjort det?

t är tiden

s(t)= t^2

s är sträckan i meter. T är tiden i sekunder. Jag tänkte på tangens eftersom det var en speciell punkt som (2,5)

Här har du svaret.

Päivi skrev :
t är tiden
s(t)= t^2
s är sträckan i meter. T är tiden i sekunder. Jag tänkte på tangens eftersom det var en speciell punkt som (2,5)
Här har du svaret.

Svaret är rätt men uträkningen är fel.

Kan du förklara varför du har satt upp differenskvoten som du har gjort?

Nej, det vet jag inte.

Päivi skrev :
Nej, det vet jag inte.

Men då fattar jag inte hur du fick fram rätt svar.

Hur gick du från det grönmarkerade till det blåmarkerade uttrycket?

Och vart tog tiden t och intervallstorleken h vägen?

Mitt svar är egentligen är

5t+ 2,5h

jag vet inte.

Jag kan inte svara på det här.

Precis, s(t) = t^2

1. Ställ upp ändringskvoten vid t = 2.5 sekunder. Förenkla.

2. Låt h gå mot 0 så får du s'(2.5)

OK.

Här är felet Päivi.

Du multiplicerar av okänd anledning funktionens värde med 2,5 i differenskvoten (rödkryssat).

Så här ska det egentligen vara:

Funktionen som beskriver hur långt kulan har rullat på en viss tid kan du kalla för $s(t)$ , där $s(t)$ anger hur många meter kulan har rullat efter $t$ sekunder.

Du vet att $s(t)=t^2$ och nu frågar de efter kulans hastighet vid $t=2,5$ sekunder.

Du vet att momentanhastigheten vid en viss tidpunkt $t$ är lika med tangentens lutning vid den tidpunkten. Tangentens lutning vid tidpunkten $t$ är lika med derivatans $s'(t)$ värde vid tidpunkten $t$ .

Vi börjar därför med att ta fram ett uttryck för derivatan vid tidpunkten $t$ :

Den metod vi har lärt oss är att ställa upp differenskvoten för lutningen $k$ hos sekanten som går genom punkterna $(t; s(t))$ och $(t+h; s(t+h))$ och sedan låta h gå mot noll:

$k = \frac{s (t + h) - s (t)}{h}$

Eftersom $s(t)=t^2$ så är $s(t+h)=(t+h)^2$ . Vi får då att

$k = \frac{(t + h)^{2} - t^{2}}{h}$

$k = \frac{t^{2} + 2 t h + h^{2} - t^{2}}{h}$

$k = \frac{2 t h + h^{2}}{h}$

$k = \frac{h (2 t + h)}{h}$

$k = 2 t + h$

Om vi nu låter $h$ gå mot 0 så går $k$ mot $s'(t)$ .

Vi har alltså att $s'(t)=2t$

Det som efterfrågades var $s'(2,5)=2\cdot 2,5=5$

Svar: Hastigheten efter 2,5 sekunder är 5 m/s.

Ja, 5, fast det saknas ett h^2 i ändringskvotens täljare. Ändringskvoten blir 5 + h, så 5 när h går mot 0.

Kan man inte på direkten sätta 2,5 där t finns i formeln?

Behöver mera träning.

Päivi skrev :
Kan man inte på direkten sätta 2,5 där t finns i formeln?

Jo, det kan du göra. Men eftersom du skrev din första differenskvot med variabeln t så trodde jag att det var så du ville räkna ut det hela.

Jag var lite osäker, hur jag skulle sätta det här. Det var det som gjorde att till o med du blev fundersam vad jag gör. Det viktiga är att jag kan göra så. Det här är väldigt nytt område. Mycket liknar varandra. Det är inte så stor skillnad på någonting egentligen.

Päivi skrev :
Mycket liknar varandra. Det är inte så stor skillnad på någonting egentligen.

Nej det är ju inte det.

Problemet är att du inte följer mallen när du sätter upp differenskvoten. Orsaken till det är att du hoppar över ett steg.

Gör istället så här:

Differenskvoten har följande utseende:

$k=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

------------------------------------

Det här steget hoppar du över. Gör inte det:

$f(x)=x^2$ . Alltså är $f(x+h)=(x+h)^2$ .

Sätt in detta i uttrycket för differenskvoten:

--------------------------------------

$k=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$

och så vidare ...

Eftersom du hoppar över det klargörande steget hur f(x) och f(x+h) verkligen ser ut så använder du ibland fel uttryck i täljaren.

Tack Yngve för allt det här!

I detta steg blev det inte rätt

Det gäller att $(2.5 + h)^2 = 6.25 + 5h + h^2$ .

Hej Päivi.

I din första uträkning efter att jag har uppmanat dig att inte hoppa över steget där du skriver vad f(x) och f(x+h) är så gör du precis det. Du hoppar över det (se bild). Varför?

--------------------------------------------------------

Du frågar om man kan skriva så här:

Svar: Om du egentligen menar följande så är svaret ja, annars är det nej:

$k = \frac{f (x + h) - f (x)}{(x + h) - x}$