Är detta rätt?

Man kan skriva ekvationen i uppgiften som $2x^3-3x^2+1=-a$. Du har ritat funktionen $f(x)=2x^3-3x^2+1$. Eftersom ekvationen är f(x) = -a motsvarar linjen x = 0,5 att a = -0,5, exempelvis.

Kommer du vidare?

Minaesman skrev:

Kan någon förklara varför varför -1<a<0 ger tre rötter och a<-1 ger en rot? Jag tänkte att om kurvan kommer under x-axeln bör det ge tre rötter då grafen skär den tre gånger och om om den ligger över den bör den endast ge en rot där x=-0,5

...

Antalet rötter är alltid 3. Däremot varierar antalet reella nollställen (skärningar med x-axeln) mellan 1 och 3, beroende på vilket värde a har. I vissa fall förekommer en s.k. dubbelrot (ett nollställe, två rötter).

Jag förstår egentligen inte vad du menar med att "kurvan kommer under x-axeln. En del av kurvan kommer alltid att ligga under x-axeln. Antalet skärningar med x-axeln beror på hur extrempunkterna ligger i förhållande till x-axeln på följande sätt:

Vi börjar med ett lågt värde på a och så låter vi a växa och ser vad som händer.

Vi börjar med a = -2. Då hamnar båda extrempunkterna under x-axeln, vilket medför att kurvan skär x-axeln endast på ett ställe (röd graf).

Om a nu växer så flyttas kurvan uppåt. När a har växt till -1 så nuddar maxpunkten precis x-axeln. Kurvan skär då x-axeln på två ställen (ljusblå graf).

Detta betyder att

• om a < -1 så har ekvationen ett nollställe.
• om a = -1 så har ekvationen två nollställen.

Om a nu fortsätter att växa så kommer maxpunkten att ligga ovanför x-axeln och minpunkten att ligga under x-axeln. Kurvan skär då x-axeln på tre ställen (grön graf för a = - 0,5).

Då a har växt till 0 så kommer minpunkten precis att nudda x-axeln. Kurvan skär då x-axeln på två ställen (orange graf).

Detta betyder att

• om -1 < a < 0 så har ekvationen tre nollställen.
• om a = 0 så har ekvationen två nollställen.

Då a > 0 så kommer både minpunkten och maxpunkten att ligga ovanför x-axeln. Kurvan skär då x-axeln endast på ett ställe (mörkblå graf för a = 1).

Detta betyder att

• om a > 0 så har ekvationen ett nollställe.

Rättade till "a = - 0,5" eftersom redigeringstiden gått ut. /Smutstvätt, moderator

Jag förstår nu! Tack så jätte mycket!