Är detta påstående sant?

Du måste åtminstone ha som villkor att funktionen skall vara kontinuerlig, annars blir det enkelt att konstruera motexempel.

Okej, den är kontinuerlig. Den är reellvärd. 

Räknar du dubbelrötter som två olika lösningar eller samma lösning?

$f(x)=-x^4$ har fyra rötter (dvs sätt a=0), samtliga x=0, och uppfyller dina andra villkor från negativa till positiva oändligheten.

Jag räknar dubbelrötter som en (1) lösning. Stämmer då påståendet?

Vad kallar man lösningen till en ekvation a=f(x) en "rot" även om a inte är noll?

Om vi bara räknar distinkta rötter och vi antar att funktionen är deriverbar på intervallet ger väl Rolles sats detta påstående rakt av.

Rolles sats säger ju nämligen att en deriverbar funktions derivata måste anta värdet noll någonstans mellan två punkter där funktionen antar samma värde. Om vi skulle ha fler än två lösningar till ekvationen med en funktion med endast en extrempunkt motsäger detta Rolles sats; därav kan en sådan ekvation maximalt ha två lösningar.

Jag är ganska säker på att påståendet gäller även om funktionen inte är deriverbar, men jag kan inte för stunden tänka mig något sätt att bevisa det på.

Är funktionen $f : (-1,1) \to (0,1)$ kontinuerlig?

    $f(x) = 1-x^2$ om $x \in (0,1)\cap\mathbb{Q}$ och $f(x) = 0$ om $x \in (0,1) \setminus\mathbb{Q}.$

Ekvationen $f(x) = (1-\pi^{-1})(1+\pi^{-1})$ saknar lösning trots att $(1-\pi^{-1})(1+\pi^{-1})\in(0,1)$ och funktionen har en enda extrempunkt; när $x=0$ är $f(0) = 1$. 

Funktionen är inte deriverbar.

Albiki skrev:

Är funktionen $f : (-1,1) \to (0,1)$ kontinuerlig?

    $f(x) = 1-x^2$ om $x \in (0,1)\cap\mathbb{Q}$ och $f(x) = 0$ om $x \in (0,1) \setminus\mathbb{Q}.$

Ekvationen $f(x) = (1-\pi^{-1})(1+\pi^{-1})$ saknar lösning trots att $(1-\pi^{-1})(1+\pi^{-1})\in(0,1)$ och funktionen har en enda extrempunkt; när $x=0$ är $f(0) = 1$. 

Funktionen är inte deriverbar.

Hur definieras denna funktion då $x$ ligger i intervallet $(-1,0)$?

AlvinB skrev:

Albiki skrev:

Är funktionen $f : (-1,1) \to (0,1)$ kontinuerlig?

    $f(x) = 1-x^2$ om $x \in (0,1)\cap\mathbb{Q}$ och $f(x) = 0$ om $x \in (0,1) \setminus\mathbb{Q}.$

Ekvationen $f(x) = (1-\pi^{-1})(1+\pi^{-1})$ saknar lösning trots att $(1-\pi^{-1})(1+\pi^{-1})\in(0,1)$ och funktionen har en enda extrempunkt; när $x=0$ är $f(0) = 1$. 

Funktionen är inte deriverbar.

Hur definieras denna funktion då $x$ ligger i intervallet $(-1,0)$?

Bra poäng! Jag definierade först funktionen på $(0,1)$ men ändrade sedan till $(-1,1)$ utan att uppdatera överallt. Funktionen är alltså $f: (-1,1) \to(0,1)$ där $f(x) = 1-x^2$ då $x \in (-1,1)\cap\mathbb{Q}$ och $f(x) = 0$ då $x \in (-1,1)\setminus\mathbb{Q}.$

Jag sitter och funderar lite grann, och så vitt jag kan se är din funktion inte kontinuerlig vid rationella tal.

För ett rationellt tal $p\in\mathbb{Q}\cap(-1,1)$ får man ju funktionsvärdet:

$f(p)=1-p^2$

Tar man sedan ett irrationellt tal $\alpha\in(-1,1)\setminus\mathbb{Q}$ sådant att $p+\alpha\in(-1,1)$ och definierar talföljden $x_k=p+\alpha/k$ för $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ får man att:

$\left|p-x_k\right|=\dfrac{\alpha}{k}$

och

$|f(p)-f(x_k)|=f(p)=1-p^2$

eftersom $f(x_k)=0$ då alla $x_k$ är irrationella. Sedan kan man välja $k$ så att $|p-x_k|<\delta$, men då kommer $|f(p)-f(x_k)|$ fortfarande vara lika med $1-p^2$, d.v.s. avståndet $|f(p)-f(x_k)|$ minskar inte då $|p-x_k|$ minskar. Enligt epsilon-delta-defintionen av kontinuitet har man ju då att funktionen inte är kontinuerlig i punkten $p$.

Om jag nu inte har fel någonstans så har jag svårt att se hur din funktion har någonting med frågeställningen att göra.