Är detta ett acceptabelt resonemang för volymen på en torus?

God afton, Pluggakuten!

Jag har suttit lite med en uppgift där man hade en cirkel inritad i ett koordinatsystem, med centrum i punkten (R, 0) och en radie r. R, r >0. Denna cirkel låter man sedan rotera ett varv kring y-axeln, så att man får en torus. Uppgiften var sedan att bestämma ett uttryck för volymen på torusen. Jag har gjort på följande vis:

Cirkeln kommer alltid kunna skrivas på följande vis: $\displaystyle (x-R)^2+y^2=r^2$. Vi börjar med att lösa ut $y$ och bara fokusera på cirkelns övre del:

$\displaystyle (x-R)^2+y^2=r^2\implies y(x)=\sqrt{r^{2}-(x-R)^2}$

Sedan delar vi in cirkelns övre del i ett ändligt antal rektanglar, där bredden på varje rektangel betecknas $\displaystyle \Delta x$, där $\displaystyle \Delta x=\frac{(R+r)-(R-r)}{n}$. n motsvarar antalet rektanglar. Om man skulle låta en sådan rektangel rotera kring y-axeln skulle man kunna approximera dess volym med: $\displaystyle V\approx y(x_{i})\cdot 2\pi x_{i}\cdot \Delta x$, där $x_{i}$ motsvarar x-värdet i den i:te rektangelns högra hörn. Så torusens totala volym kan approximeras med:

$\displaystyle V\approx 4\pi\sum_{i=1}^{n} y(x_{i})\cdot x_{i}\cdot \Delta x$ (Notera att summan multipliceras med 2 för att ta hänsyn till torusens undre del).

Om vi nu slutar låter $n \to \infty$ ser vi att:

$\displaystyle V=\lim_{n \to \infty} 4\pi\sum_{i=1}^{n} y(x_{i})\cdot x_{i}\cdot \Delta x=4\pi\int_{R-r}^{R+r}x\sqrt{r^2-(x-R)^2}\;\mathrm{d}x$