Är detta en korrekt uppfattning om formella språk? & Vad är första ordningens logik?

God kväll! Jag har några frågor som är avgränsade av vågräta linjer.

Jag har läst på en del om formella språk och tror att jag förstår det mesta, men jag skulle vilja bekräfta förståelsen med ett exempel:

Låt språket $S=\{ \in \}$ 

Kan man säga att vårt språk $S$ räcker för att definiera allt som krävs i mängdläran? Så länge vi accepterar allt det vanliga som bindesymboler, kvantifikatorer, variabler osv. (logiska symboler helt enkelt) i samband med vår nya relation $\in$ (kallas detta för signatur?) borde man ju kunna konstruera i princip allt man behöver i mängdteorin. Man kanske frestas att inkludera relationer som $\subseteq$ men man borde väl kunna definiera dem endast utgående från $\in$? T.ex:

$\displaystyle x\subseteq y\iff \forall a(a\in x\implies a\in y)$

Kan man säga att mängdläran är "konstruerad" i språket $S$?

Jag vet på ett ungefär vad första ordningens logik är. Som jag förstår det är det logiska påståenden av första ordningen, dvs. påståenden som bara använder logiska symboler och de relationer vi har definierat i ett givet språk. Så i vårt språk $S$ skulle ett påstående i första ordningens logik kunna vara:

$\displaystyle \forall x\forall y[(x\in y)\vee \neg (x\in y)]$

Är det en korrekt uppfattning?