Är detta en bra motivering?

Den bestämda integralen $\int_{a}^{b} (x^{2} - 1) d x, b > a$ , kan anta olika värden. Undersök vilka värden som är möjliga.

Jag börjar med att plocka fram den primitva funktionen: $\int (x^{2} - 1) d x = \frac{x^{3}}{3} - x + D$ , där D är någon konstant.

Det är ganska trivialt att vet att det minsta värdet kommer ligga mellan nollställena. Därmed struntar jag i att räkna ut detta men jag säger vilket värde det blir: $- \frac{4}{3}$ .

Jag vet ju genom att tänka att det inte finns något största värde på integralen. Frågan är hur man ska motivera detta snyggt. Jag gör ett försök:

Låt $b = a + c$ och $f (c) = \int_{a}^{a + c} (x^{2} - 1) d x$ , där $c > 0$ . Enligt analysens fundamentalsats kan detta skrivas om som:

$f (c) = \frac{{(a + c)}^{3}}{3} - (a + c) + D - (\frac{a^{3}}{3} - a + D) \Rightarrow f (c) = \frac{{(a + c)}^{3}}{3} - \frac{a^{3}}{3} - c$

Om vi nu låter $c \to \infty$ ser vi att $f \to \infty$ . Detta vet vi eftersom $c^{3} \to \infty$ mycket fortare än $c \to \infty$ . Således gäller alltså: $\lim_{c \to \infty} f (c) = \infty$ , V.S.V.

Detta innebär att $- \frac{4}{3} \leq f (c) < \infty$ .

Som vanligt - bärja med att rita en bild.

Då har du en chans att veta vad det är du försäker visa.

Jag vill inte framstå som oförskämd, men jag tycker det framgår ganska tydligt att jag förstår vad jag försöker visa. Har du läst igenom min lösning?

Du frågade om det var en bra lösning, och jag gav dig den bit som saknades. Börja alltid med att rita en bild. Då kan du motivera det du vill ha sagt bättre (hoppas det är en bättre formulering än det jag skrev förra gången!).

Aha, okej. Då missförstod jag din kommentar. Ja, en bild skulle såklart kunna vara bra för att illustrera det hela. Nu råkade det faktiskt finnas en bild på provfrågan, där jag använde det här resonemanget.

Det är inte lätt att gissa att det egentligen fanns en bild, när den inte är med i ditt förstainlägg... Vi som svarar här är inga tankeläsare!

Nej men huruvida det finns en bild eller inte påverkar ju inte resonemanget, menar jag. Det är ju själva resonemanget jag undrar över.

Svara

Visa senaste svar