Är detta en bra lösning?

Det rör sig specifikt om b-uppgiften. Mitt tillvägagångssätt gick ut på att försöka bestämma funktionen $f$ så gott som möjligt och sedan analysera det jag får då. 

Min första insikt var att om fjärdegradspolynmet skrivs $f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^3+...+e$ kommer derivatan inledas med termen $4a{x}^3$. Detta är väldigt användbart eftersom alla polynom skrivna på nollställesform multipliceras med en faktor som motsvarar koefficienten till x-termen av högst grad. Dessutom vet jag att derivatan har ett dubbelt nollställe, antingen vid $x=2$ eller vid $x=-1$. Sammantaget vet jag att det finns två möjliga derivator:

$\left\{\begin{array}{l}f{\text{'}}_1\left(x\right)=4a(x-2){(x+1)}^2\\ f{\text{'}}_2\left(x\right)=4a(x+1){(x-2)}^2\end{array}\right.$

Frågan är vilken som stämmer. Det finns ju ett antal punkter angivna, så jag började med att stoppa in en av punkterna i båda för att bestämma två möjliga värden på $a$:

$$\begin{gathered} f{\text{'}}_1\left(0\right)=8 \iff a=-1 \\ f{\text{'}}_2\left(0\right)=8\iff a=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Då kan jag uppdatera de möjliga derivatafunktionerna en aning:

$\left\{\begin{array}{l}f{\text{'}}_1\left(x\right)=-4(x-2){(x+1)}^2 \\ f{\text{'}}_2\left(x\right)=2(x+1){(x-2)}^2\end{array}\right.$

Nu stoppar jag in punkten $x=4$ för att se vilken funktion som spottar ut 40 som funktionsvärde. Det råkar vara $f{\text{'}}_2$. Då vet jag att fjärdegradarens derivata kan skrivas som: $f\text{'}\left(x\right)=2(x+1){(x-2)}^2$.

Nu integrerar jag för att bestämma fjärdegradaren: $\int f\text{'}\left(x\right)dx=\frac{1}{2}{x}^4-2x^3+8x+q$.

Om man bortser från konstanten q kommer denna funktion ha exakt två nollställen. Om man lägger till en konstant q kan man minska antalet till antingen noll och ett.