Är det sant att (motivera ditt svar)

Päivi skrev :

En andragrads polynom p(x) har nollställena 1 och 4 och p(0)=-2

Är det sant att p(0)=p(6) Motivera ditt svar

............................................................................

Att nollställena är 1 och 4 innebär att p(x) = k*(x - 1)(x - 4).

Att p(0) = -2 innebär alltså att k*(0 - 1)(0 - 4) = -2.

Kommer du vidare nu?

Men det här går att lösa på ett mycket elegantare sätt, med hjälp av egenskaperna hos andragradspolynom och symmetrilinjen.

Du ska inte beräkna ett nytt värde på $k$ utan bara jämföra värdena $p(0)$ och $p(6)$.

Mellan 0 och 6, det är ju 3

Nu förstår jag inte

Päivi skrev :

Mellan 0 och 6, det är ju 3

Nu förstår jag inte

Nja, symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena.

Polynomet är symmetriskt med avseende på symmetrilinjen.

Det innebär att polynomets värde på ett visst avstånd "till höger" om symmetrilinjen är lika med dess värde lika långt "till vänster" om symmetrilinjen.

Det blir kanske enklare om du skissar polynomets graf (det finns två möjliga grafer, men det spelar ingen roll vilken du väljer, tankesättet blir detsamma).

Jo jag vet att symmetri linjen ligger mellan två noll ställen. Det känner jag till Yngve. 

Tur att det är onsdag idag

hm

Jag vet inte riktigt vad du räknat på nu.

Har du räknat ut vart symmetrilinjen är?

Symmetri linjen mellan 0-6 är 3

symmetri linjen mellan 1 och 4 . Ritar man nollställen på båda grafen och symmetri linjen på båda. Mellan symmetri linjen är 5, 5 avståndet. 

Det är symmetrilinjen för polynomet du ska beräkna. Yngve påpekade hur du gör det, och du svarade att du redan visste det, så ta och beräkna det.

Vi har ett andragradspolynom med nollställen x=1 och x=4.

Kan det då vara så att p(0) = p(6) ?

Jag förstår inte det där. Vad jag uppfattar så skulle det vara nollställen även 0 och 6. Om x är nu noll , om det var lika med 6. 

Det är ett andragradspolynom. Det har två nollställen (vid x=1 och x=4) och en symmetrilinje, mitt emellan dessa nollställen. Dessutom finns det ytterligare en känd punkt, av villkoret p(0) = -2.

Så du har tre kända punkter: (0, -2), (1, 0) och (4, 0).

Att skissa grafen till detta polynom är precis samma sak som att skissa grafen till en andragradsfunktion där du känner till nollställena och ytterligare en punkt.

• p(0) är polynomets värde (grafens y-position) då x = 0.
• p(6) är polynomets värde (grafens y-position) då x = 6.

Frågan lyder nu: Är p(0) = p(6)? Det vill säga, är grafens höjd vid x = 0 samma som grafens höjd vid x = 6?

Om inte, varför inte?

Tips: Grafen till polynomet är symmetrisk med avseende på symmetrilinjen, vilket innebär att om p(a) = p(b) så ligger a och b lika långt från symmetrilinjen.

----------------

Jag ber om ursäkt för att jag skrev fel tidigare, det finns endast en möjlig graf som går genom de tre punkterna.

Nej 0 och 6 ska inte vara några nollställen. Du vet ju att p(0) = -2 vilket alltså betyder att 0 inte kan vara ett nollställe.

Det står i uppgiften "p(x) har nollställena 1 och 4", så det är mellan dessa värden du har symmetrilinjen.

Det lilla jag skrev i mitt inlägg är allt man behöver veta. Vad p(0) är spelar ingen roll.

Då blir det -5

Är det symmetri som skall räknas ut? 

Jag tror vi skippar det där med symmetrilinjen Päivi. Jag antar att det du har räknat ut när du fick -5 är $p(6)$?

Så då vet du att $p(0) = -2$ och $p(6) = -5$, så vad är svaret på uppgiften?

Vad är p(6) för något? 

p(6) är polynomet p utvärderat i 6. Uppgiften går ut på att avgöra om p(0) = p(6).

Jag lägger ner det där med graferna och plockar upp tråden från tomast80 istället:

Frågan gäller om p(0) = p(6)?

Eftersom p(x) = k*(x - 1)*(x - 4) så har vi att

• p(0) = k*(0 - 1)*(0 - 4) = k*(-1)*(-4)
• p(6) = k*(6 - 1)*(6 - 4) = k*(5)*(2)

Fortsätt att förenkla uttrycken och jämför dem. Vad drar du för slutsats?

-0,5(6-1)(6-4)=-0,5* 10= -5

Tack Yngve!

Päivi skrev :

-0,5(6-1)(6-4)=-0,5* 10= -5

Tack Yngve!

OK. Det var p(6). Vad blir p(0) och vad blir ditt svar på uppgiften?

Jag är inte hemma just nu. Jag är på väg hem. Jag är ca 30min - 1 h vid dator. Jag sitter i spårvagnen just nu. Det brukar ta 20 minuter innan jag är hemma plan. Sedan får jag gå hem. Jag svarar, när jag är hemma, Yngve!

$$\begin{gathered} k=-0.5 \\ -0.5·(-1)·(-4)=2 \end{gathered}$$

Du missade ett minustecken, det gäller att

$-0.5\cdot (-1) \cdot (-4) = -2$

Sedan vad är alltså svaret på själva frågan? Gäller det att $p(0) = p(6)$?

Svaret är nej. De är inte lika. 

Bra, det stämmer.

Bra. Det stämmer.

------------------

Det är viktigt att du förstår och kan hålla isär begreppen här.

Om vi tar ett exempel med ett polynom q(x):

Kan du då med ord beskriva

1. vad q(0) betyder?
2. vad q(-2) betyder?
3. vad man får fram om man löser ekvationen q(x) = 0?

Det som är inom parentesen har med x värdet att göra. Det ska stoppas in, där det finns x. 

 Q= (x-0)

Q= (x+2

det är nollställen i x axeln on det så du menar Ynve?

Päivi skrev :

Det som är inom parentesen har med x värdet att göra. Det ska stoppas in, där det finns x. 

 Q= (x-0)

Q= (x+2

det är nollställen i x axeln on det så du menar Ynve?

Jag tänkte mer på ord än på siffror:

q(0) är polynomets värde då x = 0

q(6) är polynomets värde då x = 6

Lösningarna till ekvationen q(x) = 0 är polynomets nollställen