Är det nån som kan säga om jag tänker rätt eller inte?

Låt oss börja med att definiera f:ℚ→ℝ
enligt f(x)=cos(πx)
och g:ℤ+→ℚ
enligt g(x)=−7x6
vilken uppfyller h(x)=f(g(x))
för alla x
i dess definitionsmängd.

a) Ge uttrycket för h(x).

b) Beräkna h(3), h(4) och h(5).Ditt svar ska inte innehålla en sinus- eller cosinusfunktion.

c) Skriv ut definitionsmängden och målmängden för h. Ditt svar ska vara koncist och lätt att följa.

d) Bestäm värdemängden för h. Ditt svar ska vara välmotiverat. (Ledtråd: Reflektera över definitionsmängden för h och periodiciteten hos den trigonometriska funktionen.)

e) Är h en injektiv funktion? Om ja, ge ett bevis; om nej, ge ett motexempel.

f) Är h en surjektiv funktion? Motivera ditt svar med ett bevis.

Mitt Svar!

a)h(x)=f(g(x))
h(x)=f(-7x/6)
h(x)=cos(pi*(-7x/6))

b)h(x)=cos(pi*(-7x/6))
h(3)=cos(pi*(-21/6))=0
h(4)=cos(pi*(-28/6))=-1/2
h(5)=cos(pi*(-35/6))=0,87

c)Funktionen h:s definitionsmängd är Z+ och målmängden är R. Eftersom h är en sammansättning av f och q har den samma definitionsmängd som q och samma målmängd som f.

d)Vet inte hur jag ska tänka här!!

e)Funktionen h är inte invektiv.(Om det är rätt, hur kan jag motivera??)

f)Funktionen h är inte surjektiv, eftersom funktionens målmängd är inte lika med funktionens värdmängd.

Har jag svarat rätt??

a) Detta ser bra ut.

b) Du kan beräkna h(5) exakt.

c) Korrekt.

d) Kolla vilka värden h kan anta för x = 1, 2, 3, osv. Du kommer ju inte behöva testa alla positiva heltal eftersom snart kommer du bara lägga på $2\pi$ så att säga.

e) Ja det är rätt, du ska alltså ge ett motexempel, hitta två olika x värden, $x_0$ och $x_1$ sådana att $h(x_0) = h(x_1)$ .

f) Korrekt.

När jag beräknar h(5) får jag alltid ett decimal tal. Vet ej hur jag kan få det exakt.

Fattar inte riktigt bra vad du menar i d. Hur skulle jag kunna skriva svaret?

Vilken beräkning ska jag göra i e för att hitta två olika x?

Tacksam för hjälp!!

Ja om du slår in det på en miniräknare så kommer du få ett decimaltal. Men om du förenklar det genom att använda vanliga trigonometriska likheter, som att cosinus är periodisk med 2pi och liknande. Så kommer du få att det bara är ett standardvärde du bör känna till utantill.

d) Ta och skriv ut några värden för funktionen och se om du hittar något mönster.

e) Det underlättar nog om du gör d) först här.

d) Får jag säga att värdemängden är ${h \in R : - 1 \leq h \leq 1}$ . Blir det rätt? Eftersom när jag testa x=1till9 och x=-1till-9 får jag samma svar som jag fick när jag räknade ut h(3), h(4) och h(5). Men jag vet inte hur jag formulera det på ett bättre sätt som de vill ha.

e) Funktioen h är inte invektiv, eftersom $- 3 \neq 3 m e n h (3) = h (- 3)$ . Är det bra att skriva/motivera så här.

Du behöver lära dig "en halv kvadrat" och "en halv liksidig triangel". Den första ger dig sin och cos för pi/4, den andra sin och cos för pi/6 och pi/3. Dessa värden tillsammans med enhetscirkeln ger dig exakta trigonometriska värden för alla multiplar av pi/6 och pi/4. Du skall aldrig behöva räknare för något av dessa värden.

d) Nej detta är inte korrekt. Du har ju kommit fram till ett ändligt antal värden som den kan anta. Det är alltså endast dessa värden som ligger i värdemängden, inte hela intervallet [-1, 1].

e) Nej detta stämmer inte, det gäller inte att -3 ligger i domänen, eftersom domänen är $\mathbb{Z}_+$ .

Hej!

Ett exempel på en invektiv funktion (som också är injektiv) är

$fan(x) = x, 0<x<1$

och

$idiot(x) = x^2, 0<x<2$ .

Albiki

Svara

Visa senaste svar