Är denna notation korrekt? Matematisk logik och mängdlära

naytte skrev:

God middag!

Jag vill skapa en definition (och uttrycka den matematiskt) för en mängd som innehåller alla infinitesimaler. Ett förslag jag har med mina väldigt begränsade kunskaper är:

$\displaystyle \mathbb{E}:=\{ \varepsilon:\forall n\in\mathbb{N}(\varepsilon<\frac{1}{n}) \}$

Men detta känns ganska klumpigt. Med ord är det jag vill uttrycka: "Mängden E definieras som mängden av alla tal $\varepsilon$ sådana att $\varepsilon< \frac{1}{n}$ för alla naturliga n"

Har ni några bra förslag på hur man skulle kunna uttrycka det eller är mitt förslag okej?

Naturliga tal är vagt, då N kan innehålla 0 (men om du definierar det som talen 1, 2, 3... är det helt ok).

𝔼:={ε:ε<1/n, n\in \mathbb{Z}_+\}

är kanske lite enklare och tydligare.

(Fråga mig inte hur PA's LaTeX funkar.... men det kanske framgår ändå)

Oj, jag hade för mig att de naturliga talen inte inkluderade noll, men när man talar om mängder gör man tydligen det.

Så att jag förstår dig rätt, du föreslår alltså:

$\displaystyle \mathbb{E}:=\{ \varepsilon: \varepsilon<\frac{1}{n}, n\in{\ \mathbb{Z^+}} \}$

Men det jag tycker verkar lite märkligt är att vi inte explicit uttrycker att vi menar alla positiva heltal. Så om n=3000 skulle alla tal mindre än 1/3000 ingå. Men det kanske är underförstått att man menar "för alla tal i Z⁺"?

Man skriver LaTeX med hjälp av två dollartecken istället för ett. Skumt, jag vet.

Från svenska Wikipedia:

De naturliga talen är de heltal som är icke-negativa {0, 1, 2, 3, 4, …}, alternativt de heltal som är positiva {1, 2, 3, 4, …}. Den första definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker. Mängden av de naturliga talen betecknas ℕ (ett vanligt N i fetstil kan även användas). ℕ är diskret, uppräkneligt oändlig och har kardinalitet Alef-noll (ℵ₀).

Enligt den definition som görs i Matematikterminologi i skolan, utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker. Den infördes i samband med att de naturliga talen gavs en mängdteoretisk definition, enligt vilken de naturliga talen precis motsvarar kardinaltalen för ändliga mängder och 0 måste användas som kardinaltal för den tomma mängden.

En fördel med att inkludera 0 är att de naturliga talen då utgör en monoid under både addition och multiplikation. En nackdel är att man inom talteori måste göra undantag för 0 i samband med primtalsfaktorisering, då 0 inte kan primtalsfaktoriseras (1 kan faktoriseras som den tomma produkten).

För att undvika förvirring kan ℤ⁺ användas för att beteckna de positiva heltalen, och ℕ₀ för de icke-negativa.

naytte skrev:

Oj, jag hade för mig att de naturliga talen inte inkluderade noll, men när man talar om mängder gör man tydligen det.

Så att jag förstår dig rätt, du föreslår alltså:

$\displaystyle \mathbb{E}:=\{ \varepsilon: \varepsilon<\frac{1}{n}, n\in{\ \mathbb{Z^+}} \}$

Men det jag tycker verkar lite märkligt är att vi inte explicit uttrycker att vi menar alla positiva heltal. Så om n=3000 skulle alla tal mindre än 1/3000 ingå. Men det kanske är underförstått att man menar "för alla tal i Z⁺"?

---

Man skriver LaTeX med hjälp av två dollartecken istället för ett. Skumt, jag vet.

När $n\in\mathbb{Z}^+$ ingår alla icke-negativa tal, obegränsat uppåt men jag funderar på din mängd. Om så är fallet så blir det att $\epsilon\to0$ då $n$ är obegränsat. Kanske du skall sätta ett index $n$ på $\mathbb{E}$ och skriva

$\mathbb{E}_n := \{\epsilon:\epsilon<1/n\}, n\in\mathbb{Z}^+$

Då får vi mera förståelig mängd. Annars blir det "nästan" nollmängden med en del filosofiskt pladder om vad $\epsilon$ kan tänkas vara.

Mängderna $\mathbb{E}_n$ är avtangande och delmängder i varandra.

Annars blir det "nästan" nollmängden med en del filosofiskt pladder om vad $\epsilon$ kan tänkas vara.

Ja, det är det som är hela poängen! Jag vill skapa en mängd innehållande endast (positiva till en början) infinitesimaler. Kännetecknet  i min föreställning om infinitesimaler är att varje positivt reellt tal som existerar är större än alla infinitesimaler. 

Ett krav på mängden elementen i mängden borde naturligtivs vara att $\varepsilon>0$, men jag glömde skriva med det. Så annorlunda uttryckt kan vi säga att en infinitesimal uppfyller:

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N^+}(\varepsilon<\frac{1}{n})$

Det var det jag ville fånga i min definition för mängden av alla infinitesimaler. Jag tänker att om man vill införa sådana tal måste de utgöra en egen mängd (t.o.m. en egen kropp), för de kan knappast vara en delmängd till de reella talen.

Spännande tanke!

Dock: utan att specificera vad för slag objekt dina epsilon ska vara vara (är de reella tal, eller något mer komplicerat?), så är det svårt att tolka 𝔼. 

Kanske ska vi instället börja med att först definiera vad vi menar med infinitesimaler. Kan du ge två exempel?

Löst uttryckt är en infinitesimal ett tal som är mindre än alla positiva reella tal som finns men större än noll. Dessa tal beter sig precis som reella tal, de utgör exempelvis en egen (se nedan) ordnad kropp med identitetselementen 0 och 1. Dessa infinitesimaler följer (i min föreställning åtminstone) samma axiom för algebra som vanliga reella tal gör, så alla påståenden på formen $\displaystyle \forall x...$ som gäller för reella $x$ gäller för infinitesimala $x$ också.

Det var därifrån mitt logiska påstende i mängden ovan kom ifrån, ett objekt är infinitesimalt om det för varje naturligt (nollskilt) $n$ är strikt mindre än $1/n$ men större än $0$.

Ett infinitesimalt objekt vill jag beteckna med $\varepsilon$. Precis som de vanliga reella talen kommer infinitesimalerna i olika storleker, så $3\varepsilon>2\varepsilon>\varepsilon$ osv... Nu börjar jag med positiva infinitesimaler, men egentligen finns det i mitt huvud även negativa sådana.

Man kan fråga sig om dessa tal är reella, men man kan ganska enkelt lirka fram att de inte kan vara reella.

Antag att $\displaystyle \mathbb{E}\subset\mathbb{R}$. Då $\mathbb{R}$ är en ordnad kropp och $\mathbb{E}$ uppenbarligen är begränsad uppåt kommer det finnas ett supremum för $\mathbb{E}$. Låt $\displaystyle \sup\mathbb{E}=\phi$. 

Om $\phi$ är reellt kommer $\phi \ge 1/n, n\in\mathbb{N}$. Men som vi vet är alla infinitesimaler strikt mindre än $1/n$. Så ett reellt tal kan inte utgöra ett supremum för $\mathbb{E}$. 

Det andra alternativet är att den minsta övre gränsen är infinitesimal. Men om $\phi$ är infinitesimalt kommer även varje multipel av $\phi$ vara infinitesimal, och då kan $\phi$ inte utgöra ett supremum eftersom det inte kan utgöra ett maximum i $\mathbb{E}$.

Slutsats: $\mathbb{E}\not\subset\mathbb{R}$

Med mina infinitesimaler skulle man exempelvis kunna lösa annars ganska kluriga gränsvärden, t.ex:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x=\frac{\sin{(x+\varepsilon)-\sin\varepsilon}}{\varepsilon}=\frac{\sin x\cos\varepsilon+\cos x\sin\varepsilon-\sin x}{\varepsilon}\approx \frac{\sin x\cdot1+\cos x\cdot\varepsilon-\sin x}{\varepsilon}=\cos x$

Här gjorde jag två approximeringar, nämligen $\displaystyle \sin \varepsilon\approx \varepsilon$ och $\displaystyle \cos \varepsilon\approx 1$. Dessa dyker t.ex. när man taylorutvecklar funktionerna runt $x=0$. Jag tror dessutom man kan visa att det inte går att få något bättre än en approximering.

Jag valde dessutom bara tilläget av en infintesimal $\varepsilon$, men egentligen hade man lika gärna kunna stoppat in vilken infinitesimal som helst och resultatet hade varit detsamma. Någon mer tillämpning än gränsvärden har jag faktiskt inte tänkt på ännu.

Hoppas det blev lite tydligare nu!

Tillägg: 9 feb 2024 11:14

(Det är naturligtvis så att man hade kunnat köra samma resonemang på den derivatan med en vanlig Taylorutveckling också).

Men ett annat gränsvärde skulle kunna vara:

$\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2-x)(x+2)}{x}=\lim_{x \to 0^{+}} \frac{4-x^{2}}{x}\approx \frac{4-\varepsilon^2}{\varepsilon}=\infty$

Låt mig spinna vidare på Trinitys funderingar. Vad består din mängd E av? Består den enbart av tal? - i så fall säger din definition att E enbart kan bestå av elementet 0. Består E å andra sidan av något mer än bara tal? Vad ska i så fall olikhetstecknet i din definition betyda? Vad kan vara mindre än t ex 1/2?

Ett sätt att konkret konstruera ett talsystem som (åtminstone delvis) skulle bete sig så som du vill, är att helt enkelt algebraiskt utvidga de reella talen med ett nytt tal $\varepsilon$, samt alla tal som du kan bilda genom med de vanliga räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division, t.ex. $-\varepsilon$, $1+\varepsilon$, $\frac{1}{\varepsilon}$, $\frac{1}{\pi-\varepsilon^5}$ och så vidare.

Detta resulterar i en kropp $\mathbb{R}(\varepsilon)$ som består av alla rationella uttryck (kvoter av polynom) med variabeln $\varepsilon$ och reella koefficienter.

Vidare kan vi utvidga den vanliga ordningsrelationen på $\mathbb{R}$ till en ordningsrelation $\prec$ på $\mathbb{R}(\varepsilon)$ genom att bestämma att $\varepsilon$ ska ha egenskapen $0\prec\varepsilon\prec a$ för varje positivt reellt tal $a$, och sedan bara följa de vanliga reglerna för olikheter i $\mathbb{R}$. Då kan man visa att $f\prec g$ för två rationella uttryck $f$ och $g$ i $\mathbb{R}(\varepsilon)$ om och bara om $f(x){<}g(x)$ för alla tillräckligt små positiva reella tal $x$.

T.ex. kommer vi kunna säga saker som:

   $\varepsilon\prec 2\varepsilon\prec 3\varepsilon\prec\cdots$

och

   $\cdots\prec\varepsilon^3\prec\varepsilon^2\prec\varepsilon$.

Det kommer också att gälla att $a\prec\frac{1}{\varepsilon}$ för alla reella tal $a$ (så $\frac{1}{\varepsilon}$ är i någon mening "oändligt stort"), och vi har även

   $\frac{1}{\varepsilon}\prec\frac{1}{\varepsilon^2}\prec \frac{1}{\varepsilon^3}\prec \cdots$.

I mångt och mycket tycker jag som algebraiskt sinnad person att detta är en väldigt tillfredställande konstruktion – men den har nackdelen att det inte är uppenbart hur man ska utvidga viktiga funktioner från analysen såsom $\sin(x)$ och $e^x$ till detta nya talsystem. Det finns mer sofistikerade konstruktioner såssom så kallat hyperreella tal och icke-standardanalys, men det lämnar jag med varm hand över till folk som kan mer analys än mig att redogöra för!

Ja, detta är ett alternativ jag redan har undersökt en del. Det du föreslår ni är ju i princip ekvivalent med hyperreella tal.

Men jag vill strunta i de reella talen fullständigt till en början, och utforska endast infinitesimalerna för sig.

Men hur skulle man kunna uttrycka det matematiskt? Alltså ”en infinitesimal är ett tal som är strikt mindre än 1/n för alla nollskilda, naturliga n men större än 0.” Eller i mängdnotation: mängden av alla tal som uppfyller det. Jag gjorde ju ett försök ovan men det blev ju så där. Kanske:

$\forall n\in\mathbb{N}\exists \varepsilon (0<\varepsilon < 1/n)$.

EDIT: Nej, det blir syftningsfel där. Påståendet stämmer men det är ju inte det jag menar.

Tillägg: 9 feb 2024 19:36

Oj, nu såg jag att du hade uppdaterat ditt inlägg en del redan. Ska läsa igenom.

Tillägg: 9 feb 2024 19:39

Vad är skillnaden på det lite vågiga <-tecknet och det vanliga?

Som jag kommenterar på slutet i min senaste edit är de hyperreella talen en mer komplicerad konstruktion, där man försöker få något man kan använda för att diskutera gränsvärden och andra analyskoncept.

Jag använder notationen $\prec$ för att tala om den utvidgade olikhetsrelationen i $\mathbb{R}(\varepsilon)$, och reserverar den vanliga symbolen för olikheter i $\mathbb{R}$. Men det är en smaksak om man vill göra den distiktionen.

Om du vill utgå från konstruktionen jag visade här ovan, så skulle du kunna bilda mängden

   $\mathbb{E}:=\{f\in\mathbb{R}(\varepsilon):0\prec f\prec 1/n\:\forall n\in\mathbb{Z}_+\}$.

Den kommer då att inkludera $\varepsilon$, men även $3\varepsilon$, $\varepsilon^2$ och $\varepsilon^2+\varepsilon$. (Utmaning: Kommer $\mathbb{E}$ även att inkludera $\varepsilon^2-\varepsilon$?)

Men jag vet inte riktigt om det är vad du är ute efter?

Vid första anblick verkar det inte som om $\varepsilon^2-\varepsilon$ kommer ingå eftersom mängden endast är definierad för f>0 men vi vet ju att det uttrycket är mindre än 0.

Jag vet inte heller riktigt vad jag vill. Är mest fascinerad av väldigt små kvantiteter och topologi, verkar det som. Återkommer om en stund, sitter på tåget nu och jag får lite ont i nacken av att böja huvudet för att skriva på telefonen.

Så, nu är jag äntligen vid ett riktigt tangentbord.

Men jag vet inte riktigt om det är vad du är ute efter?

Det är i princip det jag är ute efter, men till en början vill jag endast undersöka den "infinitesimala världen", så jag vill strunta i reella tal till en början. Då kan man kanske skriva som nedan?

$\displaystyle \mathbb{E_{+}}:=\{ \varepsilon:0<\varepsilon<1/n\;\forall n\in\mathbb{Z}_{+} \}$

$\displaystyle \mathbb{E_{-}}:=\{ \varepsilon:1/n<\varepsilon<0\;\forall n\in\mathbb{Z}_{-} \}$

$\displaystyle \mathbb{E}:=\mathbb{E_{+}}\cup_{}^{}\mathbb{E_{-}}$

Vad blir $\frac{\varepsilon}{\varepsilon}$?

Jag tycker det borde vara 1.

Det tycker jag också, men då kan du alltså gå ur den infinitesimala världen och in bland vanliga reella tal.

Jo, det är sant! Det kanske inte går att undvika att tala om $\mathbb{R}$ också.

Men @Oggih, jag tycker att ditt förslag verkar väldigt intressant. Hur skulle man mer formellt skriva det du skrev med ord, på matematiskt språk? Alltså t.ex. utvidgningen av ordningsrelationen .

Och om man vill göra det, hur gör man för att det ska vara rigoröst då? Kan man bara säga att "vi utvidgar ordningsrelationen..."?

naytte skrev:

[...] kan man kanske skriva som nedan?

$\displaystyle \mathbb{E_{+}}:=\{ \varepsilon:0<\varepsilon<1/n\;\forall n\in\mathbb{Z}_{+} \}$

$\displaystyle \mathbb{E_{-}}:=\{ \varepsilon:1/n<\varepsilon<0\;\forall n\in\mathbb{Z}_{-} \}$

$\displaystyle \mathbb{E}:=\mathbb{E_{+}}\cup_{}^{}\mathbb{E_{-}}$

Jag skulle säga att det där inte är väldefinierade mängder. Det här går tillbaka till matematikens logiska grunder, som jag verkligen inte är en expert på, men kort sagt så kan man inte skapa en mängd av helt nya objekt som uppfyller ett villkor ur tomma intet. Det är delvis relaterat till problemet med Russels paradox, som uppstår om man försöker skapa mängden

   $R:=\{A:A\not\in A\}$

och sedan inser att det är omöjligt att svara på frågan om $R\in R$ eller $R\not\in R$.

För att fixa dessa och massa andra teoretiska problem som upptäcktes runt sekelskiftet så utvecklade man i början av 1900-talet ett rigoröst axiomsystem för mängder som sedemera har kommit att kallas ZF-axiomen, efter Zermelo och Fraenkel som var två av upphovsmännen. Dessa utgör numera i någon mening grunden för nästan all modern matematik (ihop med det lite smått kontroversiella så kallade urvalsaxiomet).

Ett av axiomen (nummer 3 på Wikipedia) handlar just om mängdbyggarnotationen $\{\:\square\::\:\square\:\}$ som du använder. Det axiomet kallas ibland det begränsade mängdbyggaraxiomet och säger att mängdbyggarnotationen endast får användas för att konstruera delmängder av en mängd som redan existerar. Mer precist måste mängdbyggarnotationen användas på formen

   $\{x\in M : \Phi(x)\}$

där $M$ är en redan existerande mängd, $x$ är en variabel, och $\Phi(x)$ är ett villkor som $x$ ska uppfylla.

Det betyder att både Russel's mängd $R$ och din användning betraktas som olagliga i ZF-systemet. Däremot får man exempelvis lov att definiera de jämna talen som delmängd av heltalen genom att skriva

  $\mathcal{E}:=\{n\in\mathbb{Z}: 2\mid n\}$

eller försöka sig på att definiera infinitesimaler som

 $\mathbb{E}:=\{f\in\mathbb{R}(\varepsilon):0\prec f\prec 1/n\:\forall n\in\mathbb{Z}_+\}\,.$

Laguna skrev:

Vad blir $\frac{\varepsilon}{\varepsilon}$?

Om väljer att jobba med $\mathbb{R}(\varepsilon)$ så kommer de vanliga kroppaxiomen gälla, vilket innebär att $\frac{\varepsilon}{\varepsilon}=1$.

(Det är inte alls självklart att man vill att infinitesimaler ska fungera så, men naytte verkar ju nöjd i det här fallet!)

naytte skrev:

Och om man vill göra det, hur gör man för att det ska vara rigoröst då? Kan man bara säga att "vi utvidgar ordningsrelationen..."?

Om man vill vara riktigt tydlig så kan man försöka sig på följande definition:

Definition. För rationella funktioner $f,g\in\mathbb{R}(\varepsilon)$ gäller att $f\prec g$ om $f(x){<}g(x)$ "för alla tillräckligt små" positiva reella $x$, i bemärkelsen att det existerar något $a\in\mathbb{R}$ med $a>0$ sådant att $f(x){<}g(x)$ för alla $x\in (0,a)$.

Exempel 1: $0\prec\varepsilon$

Bevis. Vi kan exempelvis välja $a=1$ (eller $a=42$), och konstatera att $0{<}x$ för alla $x\in (0,1)$.

Exempel 2: $\varepsilon\prec \frac{1}{2}$

Bevis. Vi kan exempelvis välja $a=\frac{1}{3}$ (eller $a=\frac{1}{4}$), eftersom $x<\frac{1}{2}$ för alla $x\in(0,\frac{1}{3})$.

Exempel 3: $\varepsilon^2\prec\varepsilon$

Bevis. Vi kan välja $a=1$ (eller exempevis $a=\frac{1}{2}$), eftersom det gäller att $x^2{<}x$ för alla $x\in (0,1)$.

Utmaning: Testa att bevisa några egna olikheter med den här definitionen. Till exempel:

• $\varepsilon^3\prec\varepsilon^2$
• $0\prec\varepsilon^2+\varepsilon$
• $\varepsilon^2+\varepsilon\prec 1$
• $\varepsilon^2-\varepsilon\prec 0$ (som du helt riktigt intuitivt resonerade dig fram till tidigare i tråden!). 

Ursäkta min förvirring, men i den definitionen du föreslog nu har vi redan accepterat en utvidgning av $\mathbb{R}$, eller missförstår jag?

Alltså har vi redan accepterat att det existerar infinitesimaler? Och om så är fallet, hur gör man själva utvidgningen av $\mathbb{R}$ till $\mathbb{R}(\varepsilon)$ "rigorös"? Kan vi bara säga att "det existerar infinitesimaler och dessa kan kombineras aritmetiskt tillsammans med de reella talen, detta ger upphov till en utvidgad kropp $\mathbb{R}(\varepsilon)$" (om vi till en början bortser från ordning)?

Det verkar lite som vi har definierat en ny mängd utifrån något som inte redan är väldefinierat. Eller hur definierade vi $\mathbb{R}(\varepsilon)$ i det här fallet?

Väldigt relevant fråga! Det är två steg i konstruktionen av $\mathbb{R}(\varepsilon)$:

Det första steget är rent algebraiskt: Vi bildar helt enkelt mängden av rationella uttryck (alltså kvoter av polynom) i en variabel med reella koefficienter, där vi suggestivt väljer att kallar variabeln för $\varepsilon$ (men det hade lika gärna kunnat vara $x$ eller $y$).

Vän av ordning undrar kanske vad exakt vi menar med ett "polynom" i variablen $\varepsilon$, men låt oss för tillfället bara säga att det är linjärkombinationer av potenser i variabeln. (Om du vill ha en mer formell definition kan du kanska starta en separat tråd om detta.)

Det är en enkel men nyttig övning att övertyga sig om att den vanliga addition, subtraktion, multiplikation och division som man lärde sig göra med rationella uttryck på gymnasiet gör $\mathbb{R}(\varepsilon)$ till en kropp.

Nästa steg är topologiskt: Vi utrustar $\mathbb{R}(\varepsilon)$ med ordningsrelationen $\prec$ som jag definierade i inlägg #22. Det är detta steg som gör att variablen $\varepsilon$ får egenskaper som speglar vår intuition för hur infinitesimaler ska bete sig. Till exempel kan man visa att  $\varepsilon$ är mindre än alla positiva reella tal, medan $\frac{1}{\varepsilon}$ är större än alla reella tal. 

Okej, tack så mycket!

Men jag har en sak jag har svårt att förstå. Vi vill ju skapa en definition, men vi vet inte exakt vad vårt tal $\varepsilon$ är för något, eller vi har ingen direkt anknytning till de andra talmängderna som vi skulle ha då vi t.ex. definierar de komplexa talen ($i^2=-1$). Men man kan kanske påstå att det måste existera minst en infinitesimal, och sedan kan man utgå från den för att skapa aritmetik. Typ först börja med att definiera addition och subtraktion med reella tal och infinitesimalen, och sedan skapa en kropp.

Något i stil med:

Låt varje reellt tal med infinitesimal del skrivas som en tupel $(a, b)$, där $b$ anger den infinitesimala delen och $a, b\in\mathbb{R}$. Antag nu att ett gränsvärde där variabeln går mot 0 existerar och att detta samma sak som att beräkna uttrycket med någon infinitesimal istället. Då måste det finnas åtminstone en infinitesimal...

Sedan definierar man addition och multiplikation över våra tuplar precis som vi förväntar oss att det ska gå. Sedan tillåter vi oss också att skapa rationella funktioner med hjälp av dessa tal med infinitesimal del.

Nu när jag har lagt ytterligare tankekraft på den idén hade det ju naturligtvis inte fungerat. Anledningen till att man överhuvudtaget kan definiera komplexa tal på det sättet är ju just att $i^2=-1$, men någon sådan övergång till de reella talen kommer ju mina infinitesimaler inte att ha. Så om man skulle vilja använda tuplar skulle man vara tvungen att lägga till en plats för varje potens av infinitesimalen man har. Om infinitesimalen har potens n skulle det behövas en (n+1)-tupel. T.ex:

$(0, 1) :=\varepsilon$

$(0, 0, 1) :=\varepsilon^2$

Inte så pragmatiskt med andra ord.  Den första positionen är en infinitesimal av potens 0 (alltså ett vanligt reellt tal!)

Tillägg: 22 feb 2024 15:23

$\setminus$

Okej, nu har jag tänkt efter ytterligare och det kanske inte är en så dum idé att försöka definiera talen på det sättet. Man kanske kan säga så här:

Alla tal med infinitesimal del av högst grad $n+1$ är en n-tupel $\displaystyle (x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$, där $\displaystyle \exists x_{n>1}≠0$

Nedan vill jag försöka definiera grundläggande egenskaper för dessa tuplar:

$\displaystyle \underbrace{(0,0,0,0,...,1)}_{n \text{ tal}}:=\varepsilon^{n+1}$

$\displaystyle m(x_{1},x_{2},...,x_{3}):=(mx_1,mx_2,...,mx_n)$

$\displaystyle (x_1,x_2,...,x_n)+(y_1,y_2,...,y_n)=(x_1+y_1,x_2+y_2,...,x_n+y_n)$

$\displaystyle X\cdot Y=C$,

$\displaystyle C=(c_{1},c_2,c_3,...c_{2n})$,

$\displaystyle c_{j\in\{1,2,...,2n\}}=\sum_{k=1}^{j}x_{k}\cdot y_{j-k}$

Alla reella tal skulle också kunna uttryckas med en tupel, men då skulle alla $\displaystyle x_{n\gt1}=0$.

Tror du att detta skulle kunna leda någonstans?

Tillägg: 22 feb 2024 18:06

Anledningen till att jag låter indexeringen för tupelmultiplikation gå till 2n är att den största graden man kan få vid multiplikation av n-tuplar är 2(n+1) (kanske borde låta indexeringen gå från 0 istället!). Och om tuplarna är olika långa är det inga problem. Två tuplar av längd n och m där n>m kan man multiplicera på samma sätt, för tupeln av längd m kan alltid förlängas med nollor tills den också är av längd n.

Tillägg: 22 feb 2024 18:10

Nu har jag inte heller tagit upp några egenskaper om infinitesimalerna, bara försökt skapa mallen för hur man kommer kunna sätta ihop sådana här tal. Vad kallades det? Att utvidga det algebraiskt?