Är alla ringar vektorrum?

Nej det är dom inte. Ett vektorrum består ju i princip av två mängder, V och F. Där V är mängden av själva vektorerna, medan F är skalärerna som är en kropp. Men i en ring, så har du bara en ring så att säga. 

Wikipedia:

En ring är en algebraisk struktur betecknad R(+,·), på vilken finns två operatorer + och · sådana att:

1. R är en abelsk grupp under addition, +.
2. Multiplikationen ·, är binär, sluten, associativ och distributiv med avseende på addition.

Ett linjärt rum, även lineärt rum eller vektorrum, är en mängd L  tillsammans med en kropp F...

En kropp är alltså en kommutativ ring, där dessutom alla element utom det additiva neutrala elementet har en multiplikativ invers.

Det borde betyda: Nej, alla ringar är inte vektorrum, men alla vektorrum är ringar (eftersom vektorrum är kroppar, och kroppar är en delmängd av ringar).

@smaragdalena Nej vektorrum är inte inte kroppar. Själva vektorerna behöver inte ens ha en multiplikation definierad, så man kan inte säga att dom är kroppar eller ringar.

Jag kom på det när jag läste ditt inlägg - du är tydligare än Wikipedia. Men en kropp är en ring! Det låter så absurt, om man inte vet att det handlar om matematik.

Jag förstår att alla vektorrum inte är ringar men när jag studerar ringaxiomen vs axiomen för vektorrum så tycker jag att ringaxiomen verkar täcka in alla axiomen för ett vektorrum, och dessutom ha vissa "högre krav", t.ex. att vara sluten under multiplikation, medan ett vektorrum bara behöver vara sluten under multiplikationen med skalärer.

Vad är det för axiom som krävs för att vara ett vektorrum som inte uppfylls i ringaxiomen?

Som Stokastisk skrev: Vektorrum handlar om två mängder, en ring är bara en mängd (med vissa egenskaper).

Om du har en kropp F så kommer det ju att fungera som så att F är ett vektorrum över sig själv. När du bara har en ring så kommer inte det fungera, eftersom per definition så måste skalärerna vara en kropp.

smaragdalena skrev :

Som Stokastisk skrev: Vektorrum handlar om två mängder, en ring är bara en mängd (med vissa egenskaper).

Exempel på vektorrum ("vector spaces") i min bok är t.ex. ${\mathrm{ℝ}}^n$. Även 2x2-matriser används som exempel på ett vektorrum. ...och de är ju bara en mängd var eller hur man ska säga. 

Oftast när man pratar om $\mathbb{R}^n$ eller 2x2 matris som vektorrum så är det underförstått vad operatorerna betyder samt vilken kropp dem är vektorrum över. Men det innebär inte att kropparna inte finns där så att säga.

Ett exempel på $\mathbb{R}^2$ som vektorrum över $\mathbb{C}$ skulle vara om vi definierar multiplikationen

$(a + bi) (\alpha, \beta) = (a\alpha - b\beta, b\alpha + a\beta)$

Detta ger oss att $\mathbb{R}^2$ är en vektorrum som har dimensionen 1. Så strukturen på detta vektorrum är inte samma som det är för $\mathbb{R}^2$ som ett vektorrum över $\mathbb{R}$. Så vilken kropp det är ett vektorrum över spelar stor roll, även fast i många fall så är det underförstått vad kroppen är och därför säger man det inte alltid rakt ut

Hej!

En modul över en ring är en generalisering av ett vektorrum över en kropp; skalärerna tillhör en ring istället för en kropp. Både vektorrum och moduler är additiva abelska grupper, men en modul behöver inte ha en bas (något som vektorrum alltid har).

Albiki

Hej igen!

En modul som har en bas kallas för fri modul.

Om det i en modul finns ett ändligt antal fixerade element x_1,...,x_n sådana att varje element i modulen kan skrivas som en linjärkombination av de fixerade elementen, så säger man att modulen är ändligt genererad.

En cyklisk modul är en ändligt genererad modul där det räcker med ett enda fixerat element för att uttrycka alla modulens element.

Albiki

Hej igen!

Om varje undermodul till en modul är ändligt genererad, så säger man att modulen är Noethersk (efter matematikern Emmy Noether).

Albiki

Diskussionen av definitioner är naturligtvis intressant men jag tycker det är lite lustigt att ni ~12 inlägg in fortfarande inte givit ett konkret exempel på en struktur som är en ring men inte har en (naturlig) vektorrumsstruktur.

SeriousCephalopod skrev :

Diskussionen av definitioner är naturligtvis intressant men jag tycker det är lite lustigt att ni ~12 inlägg in fortfarande inte givit ett konkret exempel på en struktur som är en ring men inte har en (naturlig) vektorrumsstruktur.

Om man tar en ring som inte är en kropp, exempelvis heltalen, så har den ju inte en naturlig vektorrumstruktur.

Stokastisk skrev :

SeriousCephalopod skrev :

Diskussionen av definitioner är naturligtvis intressant men jag tycker det är lite lustigt att ni ~12 inlägg in fortfarande inte givit ett konkret exempel på en struktur som är en ring men inte har en (naturlig) vektorrumsstruktur.

Om man tar en ring som inte är en kropp, exempelvis heltalen, så har den ju inte en naturlig vektorrumstruktur.

 

Min algebrabok säger att följande 10 axiom måste vara uppfyllda för att få ett vektorrum
1. u, v element i V --> (u+v) element i V
2. u + v = v + u
3. u+(v+w) = (u+v)+w
4. 0-element s.a. 0+u=u+0=0
5. additiv invers (-u) s.a. u+(-u)=0
6. k = skalär, u element i V --> ku element i V
7. k(u+v)=ku+kv
8. (k+mu)=ku + mu
9. k(mu)=(km)u
10. 1u=u

Är det alltså vid axiom 6 det "skiter sig" för heltalen, därför att ett vektorrum ska vara slutet under multiplikation med vilken skalär som helst och t.ex. heltalen är ju sluten under multiplikation med heltal?

Nej, ingen av de där axiomen skiter sig. Axiom 6 klarar sig eftersom heltalen är sluten under multiplikation. Det skiter sig tidigare än de där axiomen, definitionen av ett vektorrum säger att skalärerna ska utgöra en kropp, vilket de inte utgör om skalärerna är heltal.

Stokastisk skrev :

Nej, ingen av de där axiomen skiter sig. Axiom 6 klarar sig eftersom heltalen är sluten under multiplikation. Det skiter sig tidigare än de där axiomen, definitionen av ett vektorrum säger att skalärerna ska utgöra en kropp, vilket de inte utgör om skalärerna är heltal.

Men att heltalen är sluten under multiplikation innebär ju inte att man kan multiplicera ett heltal med vilken skalär som helst och stanna i heltalen? 3 * 1,5 = 4,5 är ju inte ett heltal. Eller tänker jag fel nu?

En skalär behöver inte nödvändigtvis bara vara reella tal (eller komplexa). Du kan ta vilken kropp som helst och låta den kroppen vara skalärerna till vektorrummet (bara du definierar multiplikationen med vektorerna). Om man säger att V är ett vektorrum över F så menar man att V innehåller vektorerna och F är skalärerna.

Om man skulle se det som att vi har en kropp F och vill se det som ett vektorrum så kan vi göra det, eftersom om vi ser F som både skalärerna och vektorerna i rummet så kommer alla axiom för vektorrummet vara uppfyllt. Exempelvis så skulle man kunna välja kroppen $\mathbb{Z}_{11}$ och se det som ett vektorrum över sig själv.

Men om vi istället har en ring R och skulle vilja se det som att ringen har en "naturlig vektorrumssturktur" så blir det inte vettigt. R kan inte utgöra skalärerna för detta vektorrum. Så när jag säger att om man kollar på heltal och att det inte kommer fungera för dem, så beror det på att vi inte skulle kunna säga att heltalen ska vara skalärer.

Det kommer inte heller fungera att se reella talen som skalärer (åtminstone inte med den vanliga multiplikationen eftersom då blir den inte sluten under multiplikation, och jag vet inte om man skulle kunna definiera en vettigt multiplikation heller). Jag skulle inte se det som att $\mathbb{Z}$ besitter någon naturlig vektorrumsstruktur i sig själv då heller, som exempelvis $\mathbb{R}$ gör då $\mathbb{R}$ kan vara sina egna skalärer så att säga.

En kortare sammanfattning av tidigare inlägg.

Kroppen $\mathbb{R}$ kan man se som att den besitter en naturlig vektorrumsstruktur, eftersom dem kan utgöra sina egna skalärer.

Ringen $\mathbb{Z}$ kan man inte se som att den besitter en naturlig vektorrumsstruktur, eftersom den inte kan vara sina egna skalärer. Detta gäller alltså för alla ringar som inte är kroppar.