Är alla begränsade funktioner kontinuerliga?
Har för mig att alla begränsade funktioner är kontinuerliga, visst stämmer det?
Begränsad betyder bara att alla funktionens värden har absolutbelopp som är mindre än något värde. Att värdemängden har ett supremum och ett infinum (i praktiken max och min).
Men du kan ju bara definiera en stegfunktion
f(x) = {1 när x > 0} och {= 0 när x <= 0}
och en sådan funktion kommer att vara begränsad men är inte kontinuerlig eftersom grafen har ett hopp.
SeriousCephalopod skrev:Begränsad betyder bara att alla funktionens värden har absolutbelopp som är mindre än något värde. Att värdemängden har ett supremum och ett infinum (i praktiken max och min).
Men du kan ju bara definiera en stegfunktion
f(x) = {1 när x > 0} och {= 0 när x <= 0}
och en sådan funktion kommer att vara begränsad men är inte kontinuerlig eftersom grafen har ett hopp.
Gick i dem tankarna också, en stegfunktion är ett undantag i mitt problem. Annars borde det väl stämma att alla begränsade funktioner är kontinuerliga.
Nej det finns även andra funktioner som är begränsade men inte kontinuerliga.
Ta t.ex f(x) =
- cos(x) då x 0
- -cos(x) då x < 0
SmältOst skrev:Gick i dem tankarna också, en stegfunktion är ett undantag i mitt problem. Annars borde det väl stämma att alla begränsade funktioner är kontinuerliga.
Om man tar alla begränsade funktioner och untantar (tar bort) alla funktioner som har diskontinuiteter, exempelvis stegfunktionerna, så kommer de som är kvar såklart att vara kontinuerliga.
Men då har man ersatt (det falska) påståendet 'de begränsade funktioner är kontinuerliga' med det tautologiskt sanna påståendet 'de begränsade funktionerna som är kontinuerliga är kontinuerliga'.
Det icke-kontinuerliga funktionera måste i praktiken ha någon form av diskontinuitet, så som en stegning, och diskontinuiteterna kan klassificeras. Utifall en funktion är begränsad så kan man med säkerhet säga att den saknar 'essentiella diskontinuiteter' dvs saknar exempelvis singulariteter så som 1/x har vid 0, men poängen med steg-funktionsexemplet är att bara för att en funktion saknar ∞-diskontinuiteter så behöver den inte vara kontinuerlig.
