Approximering

Detta är uppgiften jag fastnat på:

I denna uppgift ska vi använda ett lämpligt polynom fär att approximera ln (3/2) så att felet blir mindre än 10^(−2).

Låt f (x) = ln(1 + x), låt Pn(x) vara dess Maclaurinpolynom av grad n och låt resstermen på Lagranges form vara Rn(x).

a) Bestäm n sådant att |Rn(1/2 )| < 10^(−2). För detta kan du kolla på R0(1/2 ), R1(1/2 ), . . . tills att du ser att kravet är uppfyllt. Alternativt kan du ta något större värde på n (t ex n = 4) och visa att detta värde räcker.

(b) För det värde på n som du fått i (a) beräkna Pn(1/2 ).

(c) Förklara varför det värde Pn(1/2 ) som du beräknade i (b) utgör den sökta approximation till f (1/2 ) = ln (3/2) .

(d) Med utgångspunkten i dina resultat ange det minsta intervallet som med säkerhet innehåller värdet ln (3/2).

Jag är på uppgift a) där jag fastnat. Jag tänker att $R_n\left(x\right)=\frac{f^{(n+1)}\left(c\right)}{(n+1)!}\times {\left(x\right)}^{n+1}$

där c är mellan 0 och 1/2 eftersom x ska vara 1/2

om jag deriverar ln(x+1) 3 gånger får jag:

$-6{(1+x)}^{-4}$

och sedan när man sätter in i Rn(1/2) blir det

 $-6\frac{1.5^{-4}}{4!}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^4$

detta blir ungefär 0.003 och alltså mindre än 10^-2.

i b) så sätter jag in 3 som n vilket blir $x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$och när x=1/2 blir detta 0.3958333333

fråga c) förstår jag inte riktigt vad som menas med. ln(3/2) är 0.4054651081. Men denna uppgift ska vara utan miniräknare så hur går det att bevisa då?

uppgift d) förstår jag inte riktigt heller