approximera integralen med hjälp av trapetsmetoden

Jag lärde mig inte trapetsmetoden i gymnasiet...eller envariabelanalys (universitetskurs på liknande område)...är detta någon "överkurs" uppgift eller ingår detta verkligen i kursen Matte 4? Har ni gått igenom metoden så du har ett hum om hur den fungerar? Visa gärna hur du börjar/tänker i så fall.

Edit: Hittade en Tomas Sverin video (grym lärare med Youtube videos) på ämnet. https://www.youtube.com/watch?v=IcecyaONFwI

upplever också detta som överkurs. Läser matte 4 via komvux och det står inte ens i min lärobok något om trapetsmetoden. Enbart en liten formulering men då är det inte med denna typ av funktion. 

detta står i min bok och det är det enda. 

har kikat på videon, men förstår ändå inte. Hur gör jag när jag har oändligheten i övre och undre gräns?

Jag tror tricket här är att inse att $e^{\raisebox{1ex}{$-x^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$ närmar sig 0 väldigt snabbt. Så om du sätter ditt första delintervall till typ $\infty <x\le -10$ så kan du påstå att arean av den trapetsen blir ungefär 0 (och kan därför ignoreras). Sen kan du dela in resten av integralen i 3 intervall.

har läst mig fram till att trapetsformeln är såhär:

$$\begin{gathered} \frac{h}{2}=f\left(x_0\right)+2*f\left(x_1\right)+2*f\left(x_2\right)+2*f\left(x_3\right)+f\left(x_4\right) \\ h=\frac{y_n-x_0}{n} \\ I detta fal känner jag mig jätteförvirrad när jag har - \infty . det innebär ju att \\ om jag ska räkna fram h blir det \frac{1-(-\infty )}{4} \\ förstår inte... \end{gathered}$$

Med formeln så försöker du dela in intervallet i 4 lika stora delar, så att alla trapetser har samma bas. Det funkar inte här, eftersom intervallet är oändligt. Som tur är måste trapetserna inte alls ha samma bas.

Jag kom på att jag tänkte lite fel i min kommentar ovan:

Så om du sätter ditt första delintervall till typ ∞<x≤−10 så kan du påstå att arean av den trapetsen blir ungefär 0 (och kan därför ignoreras)

Det som jag skrev här stämmer inte nödvändigtvis. Jag tror istället att du ska använda ledtråden:

Funktionen är symmetrisk kring y-axeln, så om ${\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right) dx=\sqrt{2\mathrm{\pi }}$, vad blir då ${\int }_{-\infty }^{0}f\left(x\right) dx$?

jag vet verkligen inte... :(

Hej igen. Har försökt att räkna på denna uppgift, känner mig dock väldigt osäker.

Har gjort såhär:

vi ska approximera ${\int }_{-\infty }^1{e}^{-x^2/2 }$med hjälp av 4 delintervall.

vi har ledtråden: ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2/2}=\sqrt{2\mathrm{\pi }}$(som innebär hela arean för integralen)

jag har tagit fram några intervall då att räkna med oändligheten gör det krångligt.

$$\begin{gathered} \sqrt{2\mathrm{\pi }}={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2/2} = {\int }_{-\infty }^{-1}{e}^{-x^2/2} {\int }_{-1}^0{e}^{-x^2/2} {\int }_0^1{e}^{-x^2/2} {\int }_1^{\infty } \\ räknar på intervallen -1 till 0 och 0 till 1 \\ tar värderna -1.-0,5,0,0,5 och 1 \\ {e}^{-{(-1)}^2/2}+2*e^{-{(-0,5)}^2/2}+2*e^{-0^2/2}+2*e^{-0,5^2/2}+e^{-1^2/2} \\ 0,1839397206 + 0,7788007833+1+0,7788007832+0,18397206=2,925513347 \\ \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{2}(2,925513347)=0,3656891684 \end{gathered}$$

men som sagt känner mig otroligt osäker på det. Om någon vill hjälpa mig vore jag tacksam. 

De är faktiskt så att trapetsregeln tillhör matte 4, det skall inte förväxlas med trapetsmetoden som har med differentialekvationer att göra och inte integralkalkyl.

Sedan har du inte laddat upp något försök Joh_Sara.

Här kan du hitta en genomgång på trapetsregeln. Olyckligtvis är det vanligt att förväxla trapetsmetoden med trapetsregeln men man bör skilja på de.

hmm okej, tror jag ger upp den här uppgiften. förstår verkligen inte vad det är och har jag då använt fel regel? eller uppenbarligen gjort helt fel. 

Fortsätt med petterfrees fråga. Du vet integralen över hela talaxeln. Funktionen är symmetrisk, så hur stor är integralen från 0 till oändligheten?

Dracaena skrev:

De är faktiskt så att trapetsregeln tillhör matte 4, det skall inte förväxlas med trapetsmetoden som har med differentialekvationer att göra och inte integralkalkyl.

Det är kanske så, men här kallas det för trapetsmetoden: https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/numeriska-metoder/integraler

om den är symetrisk över hela så är den $\frac{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}{2}$för intervallet 0 till oändligheten.

Jag borde ha frågat om minus oändligheten till 0, men det är ju samma. Då kan du kanske skriva din önskade integral som summan av en "oändlig" del, som du vet, och en ändlig, som du kan räkna ut.

hmm okej så då ska det vara såhär (om jag fattat rätt)

integralen är symetrisk, alltså är den totalt $\sqrt{2\mathrm{\pi }}$det ger oss att -oändligheten till -1 = $\frac{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}{2}$

och 1 till oändligheten blir $\frac{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}{2}$

då behöver jag alltså bara räkna med det ena intervallet? som tex kan vara 0-1 ? att jag sätter inte tex 0, $0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1$

Du kan förenkla det, men dina gränser stämmer inte. Fundera igen, från $(- \infty , \infty)$ vet du att det blir $\sqrt{2 \pi}$. Om du ska dela upp det halvvägs ska du från $(- \infty,..]$ men inte till -1 utan till ...

0? 

men om jag vet att summan av integralen är = $\sqrt{2\mathrm{\pi }}$

och om jag ska sätta ett intervall där jag har gränser som är lika med oändligheten?

Juste, det är alltså gränserna $(-\infty ,0]$ som ger värdet $\sqrt{\pi/2}$. Vilket intervall saknar du nu för att beräkna från $(- \infty, 1]$?

Sedan förstår jag inte din fråga, du får gärna förtydliga den.

kan det vara dessa intervall $(-\infty ,0) (-1,0) (0,1) (1,\infty )$

ja jag menar att om jag då tar och räknar ut gränserna där jag har ändligt och kan liksom få fram siffror och sätta den lika med oändligheten? vet inte hur jag ska förklara..

Nej, varför ska du beräkna från $(- \infty, \infty)$?

Som du säger ska du nu beräkna från [0,1], notera hur jsg skrivit intervallen, en enkel parentes ( betyder att vi inte inkluderar talet och [ betyder att vi inkluderar den. Eftersom $\infty$ inte är ett tal kan du inte inkludera den i ditt intervall, därför ser du mig skriva en parentes runt det.

Nu ska du alltså beräkna $\displaystyle{\int_0^1 e^{- \frac{x^2}{2}}}d \, x$ och här är det lämpligt att göra som innan, nämligen använda sig av trapetsregeln och addera dina två värden.

ja fattade inte hur jag skulle skriva in parenteserna rätt i mathtype. Men hänger med på det du säger :)

ser inte det sista du skrev dock, men okej bara från 0 till 1? men då ska jag dela upp 0 till 1 i 4 intervall? så att det blir 0, 1/4, 1/2,3/4 och 1.

Hej,

har gjort såhär:

$$\begin{gathered} jag dividerar intervallet \left[0,1\right] med 4 och får intervallen 0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4} \\ \frac{f\left(x_0\right)+f\left(x_1\right)}{2}=\frac{f\left(0\right)+f\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}{2}=e^{-\frac{0^2}{2}}+e^{\frac{-{{\displaystyle \frac{1}{4}}}^2}{2}}=\frac{1+e^{-{\displaystyle \frac{1}{32}}}}{2}=\frac{1}{2e^{{\displaystyle \frac{1}{32}}}}+\frac{1}{2}\approx 0.984616617238172 \\ \frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}=\frac{f\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)+f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2}=e^{-\frac{1}{32}}+e^{\frac{-{{\displaystyle \frac{1}{2}}}^2}{2}=\frac{e^{-\frac{1}{32}}+e^{-\frac{1}{8}}}{2}}=\frac{1}{2e^{{\displaystyle \frac{1}{8}}}}+\frac{1}{2e^{{\displaystyle \frac{1}{32}}}}\approx 0.92586506853047 \\ \frac{f\left(x_2\right)+f\left(x_3\right)}{2}=\frac{f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+f\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}{2}=e^{-\frac{1}{8}}+ e^{\frac{-{{\displaystyle \frac{3}{4}}}^2}{2}=\frac{e^{-{\displaystyle \frac{1}{8}}}+e^{-{\displaystyle \frac{9}{32}}}}{2}=\frac{1}{2e^{{\displaystyle \frac{9}{32}}}}+\frac{1}{2e^{{\displaystyle \frac{1}{8}}}}\approx 0.818668252286801} \\ \frac{f\left(x_3\right)+f\left(x_4\right)}{2}=\frac{f\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)+f\left(1\right)}{2}=e^{-\frac{9}{32}}+e^{-{\frac{1}{2}}^2=\frac{e^{-{\displaystyle \frac{9}{32}}}+e^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{2}=\frac{1}{2e^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}+\frac{1}{2e^{{\displaystyle \frac{9}{32}}}}\approx 0.68068513085082} \\ \frac{1}{4}*0.984616617238172+0.92586506853047+0.818668252286801+0.68068513085082=0.852458767226566 \\ {\int }_0^1{e}^{-{\frac{x}{2}}^{2}dx\approx 0.852458767226566} \end{gathered}$$

Ja, precis. Nu kan du beräkna urpsrungs-integralen. 

blir det då: 

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}{2}+\frac{0.852458767226566}{2} \\ \frac{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}{2}+\frac{0,8524}{2}\approx 1,6795 \end{gathered}$$

Hej, stämde mitt förra svar?