Approximera 5te kvadratroten ur 33 m.h.a. Taylorutveckling

Kan du ta fram en Taylorserie för $\sqrt[5]{x}$?

Annars är Newtons metod för approximationer av just rötter.

AlvinB skrev:

Kan du ta fram en Taylorserie för $\sqrt[5]{x}$?

Annars är Newtons metod för approximationer av just rötter.

Jag kan ta fram en Taylorserie men det blir dock jobbigt då det är jobbiga rötter. Eftersom uppgiften är i läroboken i just Maclaurin- och Taylorserie delen så är det däremot det jag tror de vill att man ska göra

Gör så här:

$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)x^2}{2}+...$

$\sqrt[5]{33}=\sqrt[5]{32\cdot \frac{33}{32}}=$

$\sqrt[5]{32}\cdot \sqrt[5]{1+\frac{1}{32}}=2(1+\frac{1}{32})^{\frac{1}{5}}=$

$2\cdot(1+...)$ 

Alternativt kan man köra en vanlig Taylorutveckling kring $x=32$ (eftersom femte roten ur $32$ är $2$).

tomast80 skrev:

Gör så här:

$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)x^2}{2}+...$

$\sqrt[5]{33}=\sqrt[5]{32\cdot \frac{33}{32}}=$

$\sqrt[5]{32}\cdot \sqrt[5]{1+\frac{1}{32}}=2(1+\frac{1}{32})^{\frac{1}{5}}=$

$2\cdot(1+...)$ 

Aha, en standardutveckling, såklart! Tänkte inte på det. Tänkte nämligen bara på Taylorutvecklingar då det var ett så stort tal

Tack!! :)

AlvinB skrev:

Alternativt kan man köra en vanlig Taylorutveckling kring $x=32$ (eftersom femte roten ur $32$ är $2$).

Testade det, men derivatorna blev för omständiga

tomast80 skrev:

Gör så här:

$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)x^2}{2}+...$

$\sqrt[5]{33}=\sqrt[5]{32\cdot \frac{33}{32}}=$

$\sqrt[5]{32}\cdot \sqrt[5]{1+\frac{1}{32}}=2(1+\frac{1}{32})^{\frac{1}{5}}=$

$2\cdot(1+...)$ 

Kan du förklara lite vad du menar? Tror inte jag riktigt förstår vad du menar...

TheDovah skrev:

AlvinB skrev:

Alternativt kan man köra en vanlig Taylorutveckling kring $x=32$ (eftersom femte roten ur $32$ är $2$).

Testade det, men derivatorna blev för omständiga

Ett par derivator klarar jag i alla fall av att beräkna med hjälp av penna och papper:

$f(x)=x^{1/5}\Rightarrow f(32)=2$

$f'\left(x\right)=\dfrac{1}{5x^{4/5}}\Rightarrow f'\left(32\right)=\dfrac{1}{80}$

$f''\left(x\right)=-\dfrac{4}{25x^{9/5}}\Rightarrow f''\left(32\right)=-\dfrac{1}{3200}$

$f^{(3)}\left(x\right)=\dfrac{36}{125x^{14/5}}\Rightarrow f^{(3)}\left(32\right)=\dfrac{9}{512\ 000}$

Talen blir inte så jobbiga om man kan tvåpotenserna.