Approximativ expansion av integral

Hejsan, jag har fastnat på en tröttsam integraluppgift inom tillämpad matematik som jag inte riktigt förstår mig på, som ser ut på det här sättet, och där målet är att hitta den "ledande termen":

$I (λ) = \int_{x = 0}^{x = 1} [e^{x} \cdot e^{λ \cdot (3 \cdot x^{2} + 2 \cdot x^{3})} \cdot d x] λ \to \infty$

Jag fattar inte riktigt vad det är som jag ska göra här;
jag funderade på att använda Laplaces Metod 1, men den metoden verkar kräva att funktionen 3⋅x³+3⋅x² ska ha en negativ derivata, och jag har också försökt att använda en metod som ger en lösning i form av ett rotuttryck, men argumentet inom det rotuttrycket är ett negativt värde som divideras med andraderivatan av 3⋅x³+3⋅x², där x ∈ [0, 1], och detta skulle i så fall ge mig en imaginär lösning, men lösningen ska egentligen ha ett reellt värde.

Jag misstänker att jag ska göra någon sorts Taylor-utvidgning och sätta x till ett konstant värde, men jag är ganska förvirrad över alltihop.

Hej!

Det är lite oklart för mig vad uppgiften går ut på (integralen divergerar ju uppenbarligen). Dessutom finns det bara en term, nämligen hela integranden. Har du en bild på uppgiften?

Moffen skrev:
Hej!

Det är lite oklart för mig vad uppgiften går ut på (integralen divergerar ju uppenbarligen). Dessutom finns det bara en term, nämligen hela integranden. Har du en bild på uppgiften?

Den ser ut så här:

Jag har testat lite olika metoder, men det känns inte som att någon av dem fungerar för den här uppgiften.
Allting visar sig alltid ha något krav i stil med att det måste finnas ett globalt maximum för funktionen som multipliceras med λ inom integrationsområdet (det finns inga såna maximum för den funktionen i den här uppgiften - det finns däremot ett minimum vid x = 0), eller att andraderivatan för den funktionen måste ha ett negativt värde, så det känns som en ganska skum uppgift.

Nej det här är jag inte säker på, så en dialog vore bra. Men min känsla säger att man kanske ska göra något i den här stilen:

Vi har fått givet funktionen $I\left(\lambda\right)$ och vill bestämma hur den beter sig då $\lambda\to+\infty$ , eller snarare hitta den ledande termen. Det är enkelt att se att $I\left(\lambda\right)\to+\infty$ då $\lambda\to+\infty$ .

Men vad är den ledande termen? För varje fixt $\lambda$ så är dock integralen ändlig, så du kan uttrycka $e^{\lambda\left(3t^2+2t^3\right)}$ med dess potensserie. Nu kan du integrera term för term och så har du ett uttryck för integralen.

Man kanske kan analysera det och se vilken term som bör vara störst. Du kanske kan använda derivata här. Det kan såklart inte vara en för hög grad, nämnaren $n!$ i potensserieutvecklingen kommer till slut att vinna där för varje fixt $\lambda$ . Men mer hinner jag inte göra, du kanske har fått någon idé i alla fall eller att någon annan hoppar in och rättar mig.

EDIT: Fast nä, gränsen borde ju bero på $\lambda$ .

Svara

Visa senaste svar