Approximation Riemann integral

Hej! skriver på mitt gymnasiearbete om "the secretary problem" som behandlar sannolikhetslära. Kom över följande summa som sedan approximeras till en integral. Det jag undrar är väl hur den approximationen gick till, vill inte bara anta att "det blir så". 

Det som först ges är

1.  P(k)=$\frac{k}{n} \sum _{j=k+1}^n\frac{1}{j-1}$

där n är det sista talet i en talföljd. 0,1,2,3,4...n.

k= ett tal i denna talföljd där alla tal fram till k undersöks men ratas oavsett hur bra den är. Det som eftersöks är ett värde på k som ger den största sannolikheten för att hitta den bästa, j, i talföljden. I lösningen som jag har tagit detta från, säger han att summan liknar en Riemann integral för stora n, där bredden på varje stapel är $\frac{1}{n}$. Han skriver att detta ger: 

2.   P(k)=$\frac{k}{n} \sum _{k+1}^n \frac{n}{j-1}\times \frac{1}{n}$

och att detta sedan blir det här. 

3.    $$\begin{gathered} P\left(k\right)\approx -\frac{k}{n}\ln \left(\frac{k}{n}\right) \\ \underset{n\to \infty }{\lim } \end{gathered}$$

Min största fundering är varför det hamnade ett n ovanför j-1 i steg 2. Och hur det kunde gå från steg 2 till 3. 

I en liknande lösning approximerade hon istället summan till 1/x och integrerade sedan $$\begin{gathered} {\int }_k^n\frac{1}{x}dx\to \ln \left(n\right)-\ln \left(k\right)=\ln \left(\frac{n}{k}\right) \\ \widetilde{P\left(k\right)=}\frac{k}{n}\ln \left(\frac{n}{k}\right) x=\frac{k}{n} \\ \widetilde{P\left(k\right)}=-x\ln \left(x\right) \end{gathered}$$

Alltså hon kommer fram till samma som lösningen ovan. Frågan består dock, på vilket sätt kan summan approximeras till detta. Väldigt tacksam för svar.