Användning av integraler 2

Först försöker jag hitta integreringsgränserna genom att sätta y = y och lösa ut x. Jag har 2 frågor till att börja med. Den första står överst: alltså hur vet man vilken sida man ska sätta över termerna på?

Den andra är längst ner - oavsett vilken sida jag ska välja (mina försök 1 och 2) hur fortsätter jag sedan för att lösa ut x?

Det spelar såklart ingen roll.
Om a=b så gäller a-b=0   och b-a=0

Att lösa ut x är vanlig ekvationslösning. I detta fall skulle jag låta bli att "flytta över" någonting. Istället skulle jag kvaderat båda sidorna och sedan multiplicerat med (1+x^2). Då återstår:

$\frac{4}{1+x^2}=1$

Det klarar du att lösa.

$$\begin{gathered} \frac{2}{1+x^2}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \\ \frac{4}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1}{1+x^2} \\ \frac{4(1+x^2)}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1+x^2}{1+x^2} \\ \frac{4}{1+x^2}=1 \end{gathered}$$

Eftersom du har satt funktionerna mot varandra och ska räkna ut vid vilket x-värde som de visar samma y-värde så kommer du att få 0 när du subtraherar funktionerna, oavsett vilken du subtraherar från vilken eftersom de kommer att vara lika stora.

Hur skulle jag sett att jag inte ska flytta över?

kvadrering är ett enkelt sätt att bli av med krångliga rotuttryck i ekvationer. Man försöker frilägga rotuttrycket på en sida av likhetstecknet och sen kvadrerar man bägge sidor.

Samtidigt inför man möjligen falska rötter så man måste kontrollera sin lösning så att den verkligen är giltig. (x = -1, kvadrera => x^2 = 1 som har lösningarna +1 och minus 1)

Bästa sättet att se när man ska ta till det här knepet är att skaffa sig erfarenhet genom att lösa många exempel.

Men skulle jag fått rätt svar om jag flyttat över på samma sida och räknat rätt? (räknat rätt som i att jag kom fram till 2=0...

gulfi52 skrev :

Men skulle jag fått rätt svar om jag flyttat över på samma sida och räknat rätt? (räknat rätt som i att jag kom fram till 2=0...

Jag är lite osäker på vad du menar med din fråga. Generellt gäller: Så länge man gör samma sak på bägge sidor likhetstecknet och inte delar med noll så blir det rätt. Ibland kan det ändå vara omöjligt att hitta en lösning, pga exvis rotuttryck,  om man inte tar till lite fiffiga knep, som exvis kvadrering eller substitution.

Hej!

Uppgift 14.2 a):

Arean av det skuggade området är lika med en differens av två integraler.

    $\displaystyle \int_{0}^{a}\frac{2}{1+x^2}\,\text{d}x - \int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x\ ,$

där den övre integrationsgränsen ($a$) är det x-värde vid vilket de två graferna skär varandra; med andra ord är $a$ det positiva tal som är sådant att

    $\displaystyle \frac{2}{1+a^2}=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\ .$

Om du inför beteckningen $b = \sqrt{1+a^2}$ så ska du lösa ekvationen $\displaystyle \frac{2}{b^2}=\frac{1}{b} \quad \Leftrightarrow\quad b(0.5b-1) = 0$. Du ser att antingen så är $b=0$, vilket är omöjligt (Varför?), eller så är $b = 2$, vilket betyder att $1+a^2 = 4.$

 är med.

och a^2 = 3 ger a=roten ur 3?

Ja.

Ekvationen $a^2=3$ har lösningarna $a=\pm \sqrt{3}$, men den negativa roten kan det inte vara, eftersom man ser av illustrationen att a skall vara positivt.