Använda Taylorpolynom för att bestämma integral.

Sätt u = sin(2x). 

Vad blir då f'(u)?

Ursäkta för sent svar.

Hur menar du? I intervallet?

Du verkar tolka vad du ska göra lite fel. 

f(0) blir här 0. 

Kalla integranden för g(t). Sätt u = sin(2x) för att underlätta lite. x = 0 ger u = 0. 

Är du med på att i så fall så är 

$f(u) = G(u) - G(0)$

där G(u) är primitiv funktion till g(u)?

Nu kan du direkt få ut f(0). För derivatan så får f(u) deriveras och kedjeregeln användas för att få ut derivatan m.a.p x. 

Jag har också fastnat på denna. Menar ni att man ska göra taylorformel på hela uttrycket och sedan bara sätta in det i integralen eller ska man beräkna något? 

Gör utveckling av integranden, integrera, och sätt in sin som en vanlig gräns och utveckla den efteråt igen tror jag är snabbaste sättet.

fiskbullen skrev:

Jag har också fastnat på denna. Menar ni att man ska göra taylorformel på hela uttrycket och sedan bara sätta in det i integralen eller ska man beräkna något? 

Med min tidigare notation så är 

$f(u)=G(u)-G(0)$

där 

$u=\sin 2x$

x = 0 ger u = 0 så

$f(0) = G(0)-G(0)=0$

Derivera f m.a.p u:

$\dfrac{df}{du} = \dfrac{dG}{du} -0=g(u)$

Använd kedjeregeln 

$\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

för att få fram f'(0) (derivata m.a.p x).

Jag är fortf lite lost.. 

Vi har en funktion på formen

$\displaystyle f(x)=\int_0^{u(x)}g(t)dt= G(u(x))-G(0)$

där

$g(t) = \dfrac{e^t}{1+t^5}$

och G(t) är dess primitiva funktion (som nog inte kan skrivas på sluten form). u(x) = sin(2x).

Det sökta maclaurinpolynimet är

$p_1(x)=f(0)+xf'(0)$

f(0) = 0 (se #7)

Vidare är

$f'(x) = (G(u(x))' = G'(u(x))\cdot u'(x)= g(u(x))\cdot u'(x)= g(\sin  2x)\cdot 2\cos 2x$

Det vi vill åt är

$f'(0) = g(\sin 0)\cdot 2 \cos 0= 2g(0)=2$

Maclaurinpolynimet är då

$p_1(x)=f(0)+xf'(0)= 2x$