8 svar
617 visningar
Gruvormon 64 – Fd. Medlem
Postad: 19 feb 2021 14:10

Använda Taylorpolynom för att bestämma integral.

Jag har f(x) = 0sin2xet1+t5dt där Taylorpolynomet ska bestämmas till grad 1 kring x=0 (alltså Maclaurin)

f(a) = et1+t5 f(0) =1 

f´(a) = et(1+t5)-et(5t4)(1+t5)2f´(0) = 1 

Där P1(a) =f(a) + f´(a)(x)1! =1+x

Ok så hittils har jag koll (hoppas jag). Sätter jag bara in intervallet nu som vanligt? Alltså skulle jag få

1+sin(2x)-(1+0) = sin(2x) ??

Dr. G 9459
Postad: 19 feb 2021 15:06

Sätt u = sin(2x). 

Vad blir då f'(u)?

Gruvormon 64 – Fd. Medlem
Postad: 20 feb 2021 13:48

Ursäkta för sent svar.

Hur menar du? I intervallet?

Dr. G 9459
Postad: 20 feb 2021 18:14

Du verkar tolka vad du ska göra lite fel. 

f(0) blir här 0. 

Kalla integranden för g(t). Sätt u = sin(2x) för att underlätta lite. x = 0 ger u = 0. 

Är du med på att i så fall så är 

f(u)=G(u)-G(0)f(u) = G(u) - G(0)

där G(u) är primitiv funktion till g(u)?

Nu kan du direkt få ut f(0). För derivatan så får f(u) deriveras och kedjeregeln användas för att få ut derivatan m.a.p x. 

fiskbullen 32
Postad: 30 nov 2021 10:30 Redigerad: 30 nov 2021 10:31

Jag har också fastnat på denna. Menar ni att man ska göra taylorformel på hela uttrycket och sedan bara sätta in det i integralen eller ska man beräkna något? 

Micimacko 4088
Postad: 30 nov 2021 18:38

Gör utveckling av integranden, integrera, och sätt in sin som en vanlig gräns och utveckla den efteråt igen tror jag är snabbaste sättet.

Dr. G 9459
Postad: 30 nov 2021 20:21 Redigerad: 30 nov 2021 20:22
fiskbullen skrev:

Jag har också fastnat på denna. Menar ni att man ska göra taylorformel på hela uttrycket och sedan bara sätta in det i integralen eller ska man beräkna något? 

Med min tidigare notation så är 

f(u)=G(u)-G(0)f(u)=G(u)-G(0)

där 

u=sin2xu=\sin 2x

x = 0 ger u = 0 så

f(0)=G(0)-G(0)=0f(0) = G(0)-G(0)=0

Derivera f m.a.p u:

dfdu=dGdu-0=g(u)\dfrac{df}{du} = \dfrac{dG}{du} -0=g(u)

Använd kedjeregeln 

dfdx=dfdu·dudx\dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}

för att få fram f'(0) (derivata m.a.p x).

clockz 1 – Fd. Medlem
Postad: 5 dec 2021 12:33

Jag är fortf lite lost.. 

Dr. G 9459
Postad: 6 dec 2021 13:07 Redigerad: 6 dec 2021 13:09

Vi har en funktion på formen

f(x)=0u(x)g(t)dt=G(u(x))-G(0)\displaystyle f(x)=\int_0^{u(x)}g(t)dt= G(u(x))-G(0)

där

g(t)=et1+t5g(t) = \dfrac{e^t}{1+t^5}

och G(t) är dess primitiva funktion (som nog inte kan skrivas på sluten form). u(x) = sin(2x).

Det sökta maclaurinpolynimet är

p1(x)=f(0)+xf'(0)p_1(x)=f(0)+xf'(0)

f(0) = 0 (se #7)

Vidare är

f'(x)=(G(u(x))'=G'(u(x))·u'(x)=g(u(x))·u'(x)=g(sin 2x)·2cos2xf'(x) = (G(u(x))' = G'(u(x))\cdot u'(x)= g(u(x))\cdot u'(x)= g(\sin  2x)\cdot 2\cos 2x

Det vi vill åt är

f'(0)=g(sin0)·2cos0=2g(0)=2f'(0) = g(\sin 0)\cdot 2 \cos 0= 2g(0)=2

Maclaurinpolynimet är då

p1(x)=f(0)+xf'(0)=2xp_1(x)=f(0)+xf'(0)= 2x

Svara
Close