Använd induktion för att visa att 3 är en delare till ...

Hej, jag behöver hjälp med denna uppgift som finns i min mattebok.

Använd induktion för att visa att $3 | 2^{2 n} - 1$ för alla positiva heltal n.

Jag har börjat, men jag vet inte hur jag sen ska fortsätta med mitt induktionsbevis.

Hur ser din början ut?

Laguna skrev:
Hur ser din början ut?

La upp det nu :)

Induktionsantagandet (steg 2) är ju att $\frac{2^{2 p} - 1}{3}$ blir ett heltal.

Det betyder att du kan skriva ekvationen $\frac{2^{2 p} - 1}{3} = k$ , där k är ett heltal.

Testa nu att sätta in p+1. Kan du skriva om resultatet till (ett heltal)*k+(ett annat heltal)? I så fall är du framme!

anta att detta är sant till en viss p, $2^{2 p} - 1 = 3 k$ vi måste nu vissa att detta även är sant för p+1

$2^{2 (p + 1)} - 1 = 2^{2 p + 2} - 1 = 4 \cdot 2^{2 p} - 1$

vi kan skriva om induktions antagendet följande

$2^{2 p} - 1 = 3 k \Leftrightarrow 2^{2 p} = 3 k + 1$ ifall vi sätter in detta i p+1 fallet får vi

$4 \cdot (3 k + 1) - 1 = 12 k + 4 - 1 = 12 k + 3 = 3 (4 k + 1)$ alltså kan vi dividera med 3 och induktionen är färdig.

Okej jag förstår hur ni tänker. Men facit har gjort liiiiite annorlunda och jag förstår inte hur 4 helt plötsligt blev en 3.

OBS!! Råkade lägga upp bilderna i fel ordning

Facit resonerar på samma sätt som att:

4*7 = 3*7 + 7

4x = 3x + x

Hjälper det?

Jaha, okej. Då förstår jag. Tack för hjälpen! :)

Stötte på denna uppgift idag. Håller med facits lösning för mesta dels men jag förstår inte varför de påstår att

$2^{2 (p + 1)} - 1 = 3 * m$

eftersom att de under beviset byter ut $2^{2 p} - 1$ till 3*m...

Skulle det istället inte påstå att $2^{2 p} - 1 = 3 * m$ för att beviset skulle vara giltig?

Nu kommer de fram till att $2^{2 (p + 1)} - 1 = 3 (2^{2 p} + m)$ , vilket inte stämde överens med deras påstående att $2^{2 (p + 1)} - 1 = 3 * m$ ...

Är det något jag missar här?

Svara

Visa senaste svar