11 svar
229 visningar
Dualitetsförhållandet behöver inte mer hjälp
Dualitetsförhållandet 1287
Postad: 4 apr 2020 07:58

Antalet komplexa lösningar lösningar till en ekvation

Hur många komplexa lösningar finns det till ekvationen? Jag tänkte att det inte finns någon lösning med en imaginär del, och behövde därför bara bry mig om antalet reella lösningar, som jag insåg var 1. Tydligen är det fel, varför? Kan det ha något att göra med att absolutbeloppet av ett komplext tal är reellt? Tack på förhand

Dualitetsförhållandet 1287
Postad: 4 apr 2020 08:01

Menar att det finns två lösningar.

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 4 apr 2020 08:29 Redigerad: 4 apr 2020 08:32

Ja, absolutbeloppet av ett komplext tal är reellt och nej, svaret är inte heller att det finns 2 lösningar.

Tips: Du kan lösa detta på flera sätt.

Algebraiskt:

Ansätt z=a+biz=a+bi och sätt upp ekvationen med hjälp av aa och bb som obekanta istället.

Utnyttja då att absolutbeloppet av ett komplext tal |x+yi|=x2+y2|x+yi|=\sqrt{x^2+y^2}.

Geometriskt:

På samma sätt som i det reella fallet så betecknar |z-w||z-w| avståndet mellan de komplexa talen zz och ww.

Laguna Online 30482
Postad: 4 apr 2020 08:36

Rita i komplexa talplanet.

Dualitetsförhållandet 1287
Postad: 4 apr 2020 09:52

Ritade komplexa talplanet. Alla punkter på cirkeln är lösningar, eftersom absolutbeloppet då är 1, precis som med trigonometriska ettan. 

@Ynge, absolutbeloppet blir då z+2=a+bi+2=(2+a)2+b2Har jag tänkt rätt då?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 4 apr 2020 10:01

Du har inte ritat rätt cirkel. Cirkeln skall bestå av alla punkter som har avståndet 1 från punkten -2.

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 4 apr 2020 10:14 Redigerad: 4 apr 2020 10:16
Dualitetsförhållandet skrev:

Ritade komplexa talplanet. Alla punkter på cirkeln är lösningar, eftersom absolutbeloppet då är 1, precis som med trigonometriska ettan. 

Grafiska delen: Du är inne på rätt spår.

Du har ritat cirkeln |z-0| = 1, dvs alla de komplexa tal z, vars avstånd till origo är 1.

Men du ska istället rita cirkeln |z-(-2)| = 1.

 

@Ynge, absolutbeloppet blir då z+2=a+bi+2=(2+a)2+b2Har jag tänkt rätt då?

Algebraiska delen: Helt rätt.

Din ekvation blir då (2+a)2+b2=1\sqrt{(2+a)^2+b^2}=1

Om du nu kvadrerar bägge sidor så får du (2+a)2+b2=1(2+a)^2+b^2=1.

Hur många lösningar (a,b)(a,b) tror du att den ekvationen har?

Tips

Sätt b = 0, hur ser ekvationen ut då och hur många lösningar har den?

Sätt a = -2, hur ser ekvationen ut då och hur många lösningar har den?

Sätt b = 1/2, hur ser ekvationen ut då och hur många lösningar har den?

Hur många lösningar har du kommit upp i nu?

Dualitetsförhållandet 1287
Postad: 4 apr 2020 10:39

Det var bara att flytta cirkeln två steg åt vänster ju haha.

 

Det verkar som att du vill komma till att ekvationen har väldigt många lösningar (a, b). Har jag läst dig rätt då? Spelar ibland poker, så är ganska bra på att läsa vad folk menar. :)

mattenjutaren 28
Postad: 4 apr 2020 10:53

För det första innefattar de komplexa talen också de reella talen. Så här frågar man väl efter antalet såväl reella som icke-reella lösningar. Hade vi bara pratat om reella tal hade z+2z-(-2) = 1 betytt de tal z på tallinjen som har avståndet 1 till talet (-2). Absolutbeloppet här betyder alltså ett avstånd. Vilka två lösningar du då hade fått kan du nog tänka dig.

Nu ska alla komplexa tal finnas med. Vad betyder då ekvationen z+2 = 1? Det är fortfarande alla tal z som uppfyller att avståndet till talet (-2) är 1, men, nu befinner vi oss inte på en tallinje utan i det komplexa koordinatsystemet. (z-a betyder alltså avståndet mellan en punkt z och punkten a i det komplexa koordinatsystemet)

mattenjutaren 28
Postad: 4 apr 2020 11:12

Ursäkta Yngve och Smaragdalena, jag kunde inte se era svar när jag skrev mitt...

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 4 apr 2020 12:07 Redigerad: 4 apr 2020 12:07
Dualitetsförhållandet skrev:

Det var bara att flytta cirkeln två steg åt vänster ju haha.

Snyggt! Är du med på att alla punkter på cirkeln uppfyller villkoret "avståndet till talet -2 är lika med 1" och att alla punkter på cirkeln därmed är lösningar till ekvationen?

Om ja, hur många punkter rör det sig om, sådär på ett ungefär? 😉

Det verkar som att du vill komma till att ekvationen har väldigt många lösningar (a, b). Har jag läst dig rätt då? Spelar ibland poker, så är ganska bra på att läsa vad folk menar. :)

Ja du har läst mig rätt. Det är dit jag vill komma. Potten går till dig 👍

Dualitetsförhållandet 1287
Postad: 4 apr 2020 14:51

Tack så mycket för hjälpen!

Svara
Close