Antalet komplexa lösningar lösningar till en ekvation

Menar att det finns två lösningar.

Ja, absolutbeloppet av ett komplext tal är reellt och nej, svaret är inte heller att det finns 2 lösningar.

Tips: Du kan lösa detta på flera sätt.

Algebraiskt:

Ansätt $z=a+bi$ och sätt upp ekvationen med hjälp av $a$ och $b$ som obekanta istället.

Utnyttja då att absolutbeloppet av ett komplext tal $|x+yi|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Geometriskt:

På samma sätt som i det reella fallet så betecknar $|z-w|$ avståndet mellan de komplexa talen $z$ och $w$.

Rita i komplexa talplanet.

Ritade komplexa talplanet. Alla punkter på cirkeln är lösningar, eftersom absolutbeloppet då är 1, precis som med trigonometriska ettan. 

@Ynge, absolutbeloppet blir då $$\begin{gathered} \left|z+2\right|=\left|a+bi+2\right|=\sqrt{{(2+a)}^2+b^2} \\ Har jag tänkt rätt då? \end{gathered}$$

Du har inte ritat rätt cirkel. Cirkeln skall bestå av alla punkter som har avståndet 1 från punkten -2.

Dualitetsförhållandet skrev:

Ritade komplexa talplanet. Alla punkter på cirkeln är lösningar, eftersom absolutbeloppet då är 1, precis som med trigonometriska ettan. 

Grafiska delen: Du är inne på rätt spår.

Du har ritat cirkeln |z-0| = 1, dvs alla de komplexa tal z, vars avstånd till origo är 1.

Men du ska istället rita cirkeln |z-(-2)| = 1.

 

@Ynge, absolutbeloppet blir då $$\begin{gathered} \left|z+2\right|=\left|a+bi+2\right|=\sqrt{{(2+a)}^2+b^2} \\ Har jag tänkt rätt då? \end{gathered}$$

Algebraiska delen: Helt rätt.

Din ekvation blir då $\sqrt{(2+a)^2+b^2}=1$

Om du nu kvadrerar bägge sidor så får du $(2+a)^2+b^2=1$.

Hur många lösningar $(a,b)$ tror du att den ekvationen har?

Det var bara att flytta cirkeln två steg åt vänster ju haha.

Det verkar som att du vill komma till att ekvationen har väldigt många lösningar (a, b). Har jag läst dig rätt då? Spelar ibland poker, så är ganska bra på att läsa vad folk menar. :)

För det första innefattar de komplexa talen också de reella talen. Så här frågar man väl efter antalet såväl reella som icke-reella lösningar. Hade vi bara pratat om reella tal hade $\left|z+2\right|$=  $\left|z-(-2)\right|$= 1 betytt de tal z på tallinjen som har avståndet 1 till talet (-2). Absolutbeloppet här betyder alltså ett avstånd. Vilka två lösningar du då hade fått kan du nog tänka dig.

Nu ska alla komplexa tal finnas med. Vad betyder då ekvationen $\left|z+2\right|$= 1? Det är fortfarande alla tal z som uppfyller att avståndet till talet (-2) är 1, men, nu befinner vi oss inte på en tallinje utan i det komplexa koordinatsystemet. ($\left|z-a\right|$betyder alltså avståndet mellan en punkt z och punkten a i det komplexa koordinatsystemet)

Ursäkta Yngve och Smaragdalena, jag kunde inte se era svar när jag skrev mitt...

Dualitetsförhållandet skrev:

Det var bara att flytta cirkeln två steg åt vänster ju haha.

Snyggt! Är du med på att alla punkter på cirkeln uppfyller villkoret "avståndet till talet -2 är lika med 1" och att alla punkter på cirkeln därmed är lösningar till ekvationen?

Om ja, hur många punkter rör det sig om, sådär på ett ungefär? 😉

Det verkar som att du vill komma till att ekvationen har väldigt många lösningar (a, b). Har jag läst dig rätt då? Spelar ibland poker, så är ganska bra på att läsa vad folk menar. :)

Ja du har läst mig rätt. Det är dit jag vill komma. Potten går till dig 👍

Tack så mycket för hjälpen!