Antal lösningar till linjärt ekvationssystem för alla reella tal a

Jag skulle nog helt enkelt lösa ekvationssystemet. a är visserligen okänd, men det förändrar inte så mycket. För vissa värden på a kommer du antagligen att få division med 0 och då får man titta på de fallen separat.

En annan variant är att beräkna systemmatrisens determinant och ta det därifrån.

Systemmatrisen:

$\left(\begin{array}{ccc}4-a& 2& -1\\ 2& 1-a& -2\\ -1& 2& 4-a\end{array}\right)$

För vilka a är det(A) = 0?

det(A) ≠ 0 ger ... lösningar.

det(A) = 0 ger ... eller ... lösningar.

Ingår även högerleden i systemmatrisen? Ska högerleden vara med när jag beräknar determinanten?

$\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\\ 1\end{array}\right)$

Nej. 

Man kan dock säga att HL bestämmer antalet lösningar när det(A) = 0.

Tack!

Vad gör jag härnäst? Ska jag sätta in värdena 1, 3 och 5 i ekvationssystemet och se om de stämmer?

Sätt in dem en i taget och se vilka fall du får: oändligt många lösningar eller inga alls.

Hej!

Du vet att om $a \notin\{1,3,5\}$ så har systemet $Ax=b$ en unik lösning.

• Om $a=1$ så är systemets totalmatris $A,b=\begin{pmatrix}3&2&-1&1\\2&0&-2&-2\\-1&2&3&1\end{pmatrix}$. Om du kan transformera detta till en matris där en rad består av 3 nollor och 1 icke-nolla så saknar systemet lösningar. Om en eller två kolonner i matrisen A är linjärt beroende så har systemet flera lösningar.
• Om $a=3$ så är systemets totalmatris $A,b=\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\2&-2&-2&-2\\-1&2&1&1\end{pmatrix}.$ Om du kan transformera detta till en matris där en rad består av 3 nollor och 1 icke-nolla så saknar systemet lösningar. Om en eller två kolonner i matrisen A är linjärt beroende så har systemet flera lösningar.
• Om $a=5$ så är systemets totalmatris $A,b=\begin{pmatrix}-1&2&-1&1\\2&-4&-2&-2\\-1&2&-1&1\end{pmatrix}.$ Om du kan transformera detta till en matris där en rad består av 3 nollor och 1 icke-nolla så saknar systemet lösningar. Om en eller två kolonner i matrisen A är linjärt beroende så har systemet flera lösningar.

Tack Albiki!

• Att transformera matriserna antar jag att jag gör genom Gauss Jordanelimination och genom andra tillåtna operationer?
• På vilket sätt spelar HL in? Jag menar då det som står till höger om likhetstecknet i ekvationssystemet, 1, -2 och 1.
• Du skriver att om a ej tillhör mängden 1, 3 eller 5 så har Ax = b en unik lösning. Skulle du kunna klargöra vad A, x respektive b motsvarar?  (Jag tror att A=systemmatrisen, x kunde vara x₁, x₂ och x₃ och att b är HL, men jag är verkligen inte säker på det.)
• Du skriver att om a ej tillhör mängden 1, 3 eller 5 så har systemet Ax=b en unik lösning. Därtill tillkommer ett oändligt antal lösningar eller möjligen inga lösningar alls, beroende på vad jag får fram i de då jag testar värdena 1, 3 och 5 i stället för a i matrisen enligt det du beskriver ovan. Det är här nödvändigt att jag behärskar hur jag ska transformera matriserna. Kan jag inte det så kan jag heller inte lösa uppgiften. Stämmer det?
• Svaret borde alltså vara att det finns en entydig lösning eller att det finns ett oändligt antal lösningar. Vilket av dem båda vet jag inte ännu. Svaret kan inte vara att det finns noll lösningar eftersom vi redan har en unik lösning för det fall när a ej tillhör mängden 1, 3 eller 5. Har jag förstått rätt?

När a inte är 1, 3 eller 5 så är systemmatrisen A inverterbar, eftersom det(A) ≠ 0. Lösningsvektorn x ges då av

$x = A^{-1}b$

där b är din vektor i HL. För att lösa uppgiften så räcker detta, du behöver inte snygga till HL genom att beräkna inversen och utföra matrismultiplikationen. Det finns en entydig lösning, x.

När a = 1, 3 eller 5 så är det(A) = 0. A är inte inverterbar. Du får lösa ett ekvationssystem för de tre olika a-värdena och se om du får 0 eller ∞ antal lösningar för varje värde på a. 

Dr. G skrev:

När a inte är 1, 3 eller 5 så är systemmatrisen A inverterbar, eftersom det(A) ≠ 0. Lösningsvektorn x ges då av

$x = A^{-1}b$

där b är din vektor i HL. För att lösa uppgiften så räcker detta, du behöver inte snygga till HL genom att beräkna inversen och utföra matrismultiplikationen. Det finns en entydig lösning, x.

När a = 1, 3 eller 5 så är det(A) = 0. A är inte inverterbar. Du får lösa ett ekvationssystem för de tre olika a-värdena och se om du får 0 eller ∞ antal lösningar för varje värde på a. 

Jag måste bara fråga en extra gång. Räcker det alltså som svar för övriga reella tal a (som inte är 1, 3 eller 5) att säga att det finns en entydig lösning? 

Vilken denna entydiga lösning är, verkar ju inte behöva beräknas denna gång.

Eftersom uppgiften vara att finna antal lösningar, så borde det ju räcka med en liknande förklaring som Dr G gjort här.

Sedan förstår jag givetvis att jag måste svara vilka lösningar det blir när a är 1, 3 och 5 också.

Skulle denna Gauss-Jordan-elimination kunna vara rätt för fallet a=1?

Jag har fått en trappstegsmatris med en nedersta rad som har nollor i VL, men ett nollskilt tal i HL och därför har ekvationssystemet inga lösningar för a=1 enligt mig.

Rätta mig om jag har fel.

Det verkar rätt!

a = 1, saknar lösning

a = 3, ...

a = 5, ...

övriga a, entydig lösning

Två luckor att fylla i återstår.

Albiki skriver:

”Om en eller två kolonner i matrisen A är linjärt beroende så har systemet flera lösningar.”

Är det detsamma som att jag efter transformering ser att jag får en matris på trappstegsform?

Jag vet att om trappan går helt ”jämnt” hela vägen (ett steg åt höger och ett steg ner för varje steg) så har ekvationen en entydig lösning. 

De trappor jag får för oändligt antal lösningar är väl en sådan trappa som kan ha trappsteg av olika längd?

a = 1, saknar lösning

a = 3, saknar lösning

a = 5, oändligt antal lösningar

övriga a, entydig lösning

Ja, du har rätt.

Det centrala är ju raden med nollor du får. Om hela raden blir nollor är det ju inget konstigt, $0x_1+0x_2+0x_3$ borde ju vara lika med noll, men om högervektorn inte får en nolla får du ju att $0x_1+0x_2+0x_3=1$ vilket saknar lösningar.

Tack allihopa!

Vad menar Albiki med

”Om en eller två kolonner i matrisen A är linjärt beroende så har systemet flera lösningar.”

Kolonnerna i den sista transformerade matrisen, den jag gjort för fallet a=5, ser ut så här

$\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& -1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$

Jag har tolkat denna matris som att ekvationssystemet ger oändligt antal klösningar eftersom den är på trappstegsform men inte går exakt ett steg ner ett steg till höger för varje steg, utan stegen är längre.

Nu undrar jag alltså över Dette resonemang att kolonnerna skulle vara linjärt beroende. Jag ser ju att kolonn 1 och kolonn 4 tar ut varandra: 1-1=0. Kolonn 2 och kolonn 3 tar också ut varandra då -2+1+1=0. Är det detta som åsyftas med att kolonnerna är linjärt beroende?