Antal lösningar till en system

Ett ekvationssystem med $n$ variabler och $n$ ekvationer kan beskrivas som en likhet $Ax=b$ där $A$ är en $n\times n$-matris som beskriver en linjär avbildning. Om determinanten för matrisen är nollskild finns endast en lösning till ekvationssystemet eftersom transformationen då är injektiv (varje vektor har en unik avbildning).

Är determinanten lika med noll har man antingen oändligt många lösningar (parameterlösning) eller inga lösningar alls beroende på om vektorn i högerledet ligger i bildrummet för den linjära avbildningen eller ej.

AlvinB skrev:

Är determinanten lika med noll har man antingen oändligt många lösningar (parameterlösning) eller inga lösningar alls beroende på om vektorn i högerledet ligger i bildrummet för den linjära avbildningen eller ej.

 Jag typ förstår men inte 100%. Hur hänger vektor i högerledet med det?

Vad representerar lösningarna av den karakteristiska ekvation för determinanten? Spelar dem något roll för nollrummet? Eller något huvudtaget?

När vi har ett ekvationssystem beskrivet med:

$Ax=b$

där $A$ är en $n\times n$-matris, $b$ är en (känd) vektor och $x$ är en (okänd) vektor kan vi tänka det som att vi skall hitta en vektor $x$ sådan att när vi applicerar transformationen som beskrivs av $A$ på vektorn får vi vektorn $b$, d.v.s. vi vill hitta vektorn $x$ som avbildas på $b$. Om determinanten är nollskild (d.v.s. matrisen har maximal rang) kommer det alltid att gå att hitta precis en sådan vektor $x$ eftersom alla möjliga vektorer $b$ ingår i bildrummet.

När determinanten är lika med noll betyder det att transformationen "trycker ihop" rummet så att det får mindre dimension. Då ingår inte alla möjliga vektorer $b$ i bildrummet längre, eftersom bildrummet inte är av dimension $n$. Om $b$ inte ingår i bildrummet blir ekvationssystemet olösligt, och om $b$ ingår i bildrummet blir det oändligt många lösningar (eftersom hoptryckningen av rummet gör att oändligt många vektorer $x$ avbildas på vektorn $b$).

Egenvärdena är inte till så mycket hjälp vid just ekvationssystem. Visserligen är determinanten lika med produkten av egenvärdena, men det är ju snarare en omväg om man vill beräkna determinanten.

🍺!