Antal lösningar till ekvationen

En entydig lösning kan inte finnas om antalet kolonner är fler än antalet rader. :) I detta fall har du systemet $\left\{\begin{array}{l}x-\frac{14}{25}z+\frac{9}{25}w=0\\ y-\frac{4}{25}z-\frac{1}{25}w=0\end{array}\right.$

alternativt 

$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{14}{25}z=\frac{9}{25}\\ y-\frac{4}{25}z=\frac{1}{25}\end{array}\right.$

beroende på om systemet var homogent eller inte. Oavsett, du har två ekvationer, men (minst) tre obekanta. Hur många lösningar har ett sådant system?

Känner du till bundna resp. fria variabler?

Jag känner inte till bundna respektive fria variabler, dessvärre.

Till ett system med två ekvationer och minst tre obekanta, anser jag att det ska finnas oändligt antal lösningar.

Kanelbullen skrev:

Till ett system med två ekvationer och minst tre obekanta, anser jag att det ska finnas oändligt antal lösningar.

Mycket riktigt! 

Om jag har Gausseliminerat rätt, blir ekvationssystemet (jag skriver på utökad matrisform):

$\left[\begin{array}{cccc}3& 2& -2& 1\\ 0& -25& 4& 1\end{array}\right]$

De rödmarkerade elementen indikerar att variablerna x och y är bundna.

Eftersom ekvationssystemet är underbestämt, existerar 1 fri variabel, i detta fall z, som vi sätter till parameter t, dvs z=t.

x och y binds till t: Vi löser ut och får

$y=\dfrac{3}{25}+t\cdot\dfrac{4}{25}$.

På liknande sätt kan man lösa ut x. Sammantaget landar vi i en en-parametrig lösning: Eftersom $t\in\mathbb{R}$,

har vi oändligt många lösningar.

Geometriskt tolkar vi lösningen som en rät linje.

dr_lund skrev:

Om jag har Gausseliminerat rätt, blir ekvationssystemet (jag skriver på utökad matrisform):

$\left[\begin{array}{cccc}3& 2& -2& 1\\ 0& -25& 4& 1\end{array}\right]$

De rödmarkerade elementen indikerar att variablerna x och y är bundna.

Eftersom ekvationssystemet är underbestämt, existerar 1 fri variabel, i detta fall z, som vi sätter till parameter t, dvs z=t.

x och y binds till t: Vi löser ut och får

$y=\dfrac{3}{25}+t\cdot\dfrac{4}{25}$.

På liknande sätt kan man lösa ut x. Sammantaget landar vi i en en-parametrig lösning: Eftersom $t\in\mathbb{R}$,

har vi oändligt många lösningar.

Geometriskt tolkar vi lösningen som en rät linje.

Blir det inte $y=\dfrac{-1}{25}+t\cdot\dfrac{4}{25}$? Det stämmer också med uträkningen i bilden i början.

Jo, precis.

$y=-\dfrac{1}{25}+t\cdot\dfrac{4}{25}$. Rätt ska vara rätt.

Vi noterar att matrisens rang (dvs antal pivotelement) är 2. Rangen säger oss någonting om

ekvationssystemets lösbarhet.