Antal lösningar till ekvation

Den här är nog inte tänkt att man ska attackera med algebra. Fundera istället på vad varje term har för minsta och största värde. Vad krävs för att likheten ska gälla?

Jag har tagit fram:

$$\begin{gathered} 0\le \sin x \le 1 \\ -1\le \cos 2x \le 1 \end{gathered}$$

Jag har därifrån försökt ställa upp en ekvation för att dra möjliga slutsatser

$$\begin{gathered} 1\le 4^{{\sin }^{2}x}\le 4 \\ -\infty <2^{\cos 2x}\le 0 \end{gathered}$$

Detta borde betyda att det aldrig kan bli noll. Men jag har gjort något fel för b) är rätt svar.  Jag har lappat och lagat i två veckor på den här lösningen så den är aningen förvirrande även för mig själv. 

Är jag inne på rätt spår och har gjort något slarv fel, eller är jag helt ute och cyklar?

mada59 skrev:

Antalet lösningar till ekvationen $4^{{\sin }^2\left(x\right)} - 2^{{\cos }^{}\left(2x\right)} + 1=0$, för $0<x\le \mathrm{\pi }$,är

a) 0

b) 1

c) 2

d) annat svar

Det ska för övrigt vara $2^{\cos \left(2x\right)} och inte 2^{{\cos }^2\left(2x\right)}$

Din första slutsats är korrekt, men den andra är fel. 2^{cos 2x} kan inte bli negativ.

Okej tack! Ska försöka på det.

Hej,

Det handlar alltså om antalet lösningar på intervallet $(0,\pi]$ till ekvationen $4^{\sin^2 x} - 2^{\cos 2x} + 1 = 0.$

Tänk på att $\cos 2x =1-2\sin^2 x$ och $4=2^2$ så ekvationen kan skrivas   

     $2^{2\sin^2 x} - 2^{1-2\sin^2 x} + 1 = 0 \iff y-2\cdot \frac{1}{y} + 1 = 0$

där $y$ definierats som $2^{2\sin^2 x}$; notera att $y$ aldrig kan vara negativ. Den ursprungliga ekvationen är alltså samma sak som en andragradsekvation i $y$.

    $y^2+y-2=0.$

Kvadratkomplettering ger

    $(y+0.5)^2=2.25$

som har en enda positiv lösning $y = -0.5+\sqrt{2.25}$. Frågan är om denna lösning motsvarar ett tal $x$ i intervallet $(0,\pi]$.

Kan du förklara hur du kom från, 

$y-2·\frac{1}{y}+1=0$

till

$y^2+y-2=0$

han förlängde med y

Vad finns det för villkor för att man ska få göra det?

Det kräver inga särskilda villkor. Det är samma steg som om du löser ekvationen $8 = \frac{2}{y}$. Vänster- och högerled multipliceras med y: $8y = 2$ och sen kan du dividera bort 8an. Så från

$y - 2\cdot \dfrac{1}{y} + 1 = 0$

kan du multiplicera båda led med y, men eftersom högerledet är 0 påverkas det inte av en multiplikation. 0*y blir ändå noll. Kanske är det därför det ser obekant ut. Men efter en multiplikation med y får du alltså

$y^2 - 2\cdot 1 + 1\cdot y = 0$

(notera att varje term i vänsterledet multiplicerats med y)

Det kan vara så att jag blandade ihop det med att dividera på båda sidorna. Alltså förlänga med 1/y inte är okej?

Stämmer det att man inte kan göra så?

Jodå, du kan dela båda led med y om du vill. Division behöver man dock vara försiktig med, eftersom man inte får dela med noll. Kanske var det det villkoret du tänkte på. Så när man har en ekvation och dividerar båda led med en variabel, så gäller resten av beräkningen endast förutsatt att variabeln inte är noll. Då kan man behöva hantera det fallet separat.

T.ex. om du ska lösa ekvationen $x(x-3) = 0$ (glöm bort nollproduktmetoden en stund). Här skulle man kunna tänka att vi dividerar båda led med x och får x-3 = 0, dvs x=3. Och det är mycket riktigt ena lösningen. Men, eftersom vi dividerade med x så gäller den lösningen endast under förutsättning att x inte är noll. Så vad man kommit fram till är att "om x inte är noll så måste x vara 3". Men om x är noll då? Vi undersöker det fallet separat genom att sätta in i ekvationen: 0*(0-3) blir mycket riktigt noll, så x=0 är också en lösning.

Så: Man får dela båda led med en variabel, men man får då inte glömma att undersöka huruvida variabeln man delar med kan vara noll. Isåfall behöver det fallet undersökas separat.

Tack så mycket för förtydligandet. :)

Jag har nu löst uppgiften. Tack så jätte mycket till alla som hjälpt till, ni förstår inte hur mycket det hjälpt. Återigen Tack! :D

(Känslan av att lösa ett matte problem och förstå lösningen så man kan applicera den på liknande problem igen. Finns det något bättre?)