Antal invånare i cirkelring

Var står det något om omkretsen?

Tänk dig att du har en väldigt tunn cirkelring med tjocklek dr. Vi kan beskriva dess area som den yttre cirkelns area minus den inre: $\pi(r + dr)^2 - \pi r^2 = 2\pi rdr + \pi(dr)^2$.

Vi kan nu tänka att termen $(dr)^2$ blir försvinnande liten jämfört med $2\pi rdr$ då $dr$ görs mindre och mindre. Det betyder att om vi approximerar cirkelringens area med $2\pi rdr$ kommer vår approximation bli bättre och bättre ju mindre $dr$ görs. Det innebär att i gränsfallet då $dr\to 0$ blir vår approximation "exakt".

Du kan tänka på detta analogt med hur derivatan av en funktion $f(x)$ i någon punkt $x_0$ är lika med lutningen på tangenten i den punkten.  Vi kan approximera tangenten med hjälp av en sekant i två punkter lite före och lite efter $x_0$. I gränsfallet då dessa två punkter går mot $x_0$ kommer sekanten och tangenten sammanfalla.

Vi kan också tänka att vi tar den tunna ringen och rätar ut den till något som nästan liknar en rektangel. Höjden är $dr$, ena sidan är $2\pi r$ och andra sidan är $2\pi(r + dr)$. När $dr$ görs litet blir skillnaden av dessa två långsidor mindre och mindre, så $2\pi(r+dr)\approx 2\pi r$ och vi kan approximera ringens area som en rektangel: $dr\cdot 2\pi r$. Detta är en annan approximation än den första, så det illustrerar att det går att approximera på olika sätt och ändå komma fram till samma uttryck.

Man kan se denna tunna ring som förändringen i cirkelns area med avseende på radien, alltså $\frac{dA}{dr}$. Vi får då att $\frac{dA}{dr} = (\pi r^2)'= 2\pi r$.

Det är lite speciellt för cirklar att derivatan av arean med avseende på radien är samma uttryck som för cirkelns omkrets. Något liknande gäller även i högre dimensioner. Till exempel är förändringen i volymen $V=\frac{4\pi r^3}{3}$ hos en sfär med avseende på radien lika med $(\frac{4\pi r^3}{3})' = 4\pi r^2$, vilket också är uttrycket för begränsningsarean av en sfär med radien $r$.

Gustor skrev:

Tänk dig att du har en väldigt tunn cirkelring med tjocklek dr. Vi kan beskriva dess area som den yttre cirkelns area minus den inre: $\pi(r + dr)^2 - \pi r^2 = 2\pi rdr + \pi(dr)^2$.

Vi kan nu tänka att termen $(dr)^2$ blir försvinnande liten jämfört med $2\pi rdr$ då $dr$ görs mindre och mindre. Det betyder att om vi approximerar cirkelringens area med $2\pi rdr$ kommer vår approximation bli bättre och bättre ju mindre $dr$ görs. Det innebär att i gränsfallet då $dr\to 0$ blir vår approximation "exakt".

Du kan tänka på detta analogt med hur derivatan av en funktion $f(x)$ i någon punkt $x_0$ är lika med lutningen på tangenten i den punkten.  Vi kan approximera tangenten med hjälp av en sekant i två punkter lite före och lite efter $x_0$. I gränsfallet då dessa två punkter går mot $x_0$ kommer sekanten och tangenten sammanfalla.

Vi kan också tänka att vi tar den tunna ringen och rätar ut den till något som nästan liknar en rektangel. Höjden är $dr$, ena sidan är $2\pi r$ och andra sidan är $2\pi(r + dr)$. När $dr$ görs litet blir skillnaden av dessa två långsidor mindre och mindre, så $2\pi(r+dr)\approx 2\pi r$ och vi kan approximera ringens area som en rektangel: $dr\cdot 2\pi r$. Detta är en annan approximation än den första, så det illustrerar att det går att approximera på olika sätt och ändå komma fram till samma uttryck.

Man kan se denna tunna ring som förändringen i cirkelns area med avseende på radien, alltså $\frac{dA}{dr}$. Vi får då att $\frac{dA}{dr} = (\pi r^2)'= 2\pi r$.

Det är lite speciellt för cirklar att derivatan av arean med avseende på radien är samma uttryck som för cirkelns omkrets. Något liknande gäller även i högre dimensioner. Till exempel är förändringen i volymen $V=\frac{4\pi r^3}{3}$ hos en sfär med avseende på radien lika med $(\frac{4\pi r^3}{3})' = 4\pi r^2$, vilket också är uttrycket för begränsningsarean av en sfär med radien $r$.

tack så mycket!