Antal invånare

Har du ritat?

Rita gärna "dx" i figuren

Affe Jkpg skrev:

Har du ritat?

Rita gärna "dx" i figuren

Osäker på hur man ritar det.

Vilken form har en (tvådimensionell) figur där alla punkter har lika långt till centrum?

Smaragdalena skrev:

Vilken form har en (tvädimensionell) figur där alla punkter har lika långt till centrum?

Ja det är väl en cirkel eller kvadrat?

Vet inte hur jag ska rita upp figuren det är de.

RogTheMan skrev:

Smaragdalena skrev:

Vilken form har en (tvädimensionell) figur där alla punkter har lika långt till centrum?

Ja det är väl en cirkel eller kvadrat?

Vet inte hur jag ska rita upp figuren det är de.

Ett av dina svar är rätt. Vilket av dem?

Det borde vara lätt att rita en bättre figur än denna :-)

Smaragdalena skrev:

RogTheMan skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Vilken form har en (tvädimensionell) figur där alla punkter har lika långt till centrum?

Ja det är väl en cirkel eller kvadrat?

Vet inte hur jag ska rita upp figuren det är de.

Ett av dina svar är rätt. Vilket av dem?

cirkel bör det va

Affe Jkpg skrev:

Det borde vara lätt att rita en bättre figur än denna :-)

och hur vet du hur du ska rita den? hur vet du att dx ska vara just där det är det jag inte förstår

hur vet du att dx ska vara just där det är det jag inte förstår

Det var meningen att jag skulle illustrerat "dx" som en "pytteliten" sträcka utmed x-axeln.

Om $2\pi x$ är en cirkel (omkrets) runt stadens centrum så är $2\pi xdx$ en yta....rita!

Affe Jkpg skrev:

hur vet du att dx ska vara just där det är det jag inte förstår

Det var meningen att jag skulle illustrerat "dx" som en "pytteliten" sträcka utmed x-axeln.

Om $2\pi x$ är en cirkel (omkrets) runt stadens centrum så är $2\pi xdx$ en yta....rita!

Förlåt om jag är trög men vad är i det här fallet en yta? vet inte asså suck

Förlåt om jag är trög men vad är i det här fallet en yta? vet inte asså suck

RogTheMan skrev:

Förlåt om jag är trög men vad är i det här fallet en yta? vet inte asså suck

En yta är ett område. Dess storlek kallas area.

Ta t.ex. en rektangel med bredd b och höjd h. Den har en viss yta vars area $A=b\cdot h$.

ahaa okej. Komplicerar saker. Måste förenkla

${\int }_{500}^{4000}$2$\mathrm{\pi x} \mathrm{dx}$

Är det så man ställer upp det då eller? 4 km blir 4000 tänker jag.

Det du har ställt upp är ett korrekt uttryck för hur stort område det rör sig om, och det är ett jättebra första steg. En sak bara: Räkna i kilometer istället, dvs undre gräns 0,5 och övre gräns 4. Du kommer att förstå varför lite senare.

Nästa steg:

Det de frågar efter är inte hur stort området är utan istället hur många människor som bor i det området.

Om det bodde lika många människor överallt, säg 100 människor per kvadratkilometer, så skulle du bara kunna multiplicera områdets storlek (i kvadratkilometer) med 100 så skulle det vara klart.

Men nu är befolkningstätheten (dvs antal människor per kvadratkilometer) inte konstant utan beror istället på avståndet från stadens centrum enligt den givna funktionen.

Kan du då klura ut hur du ska kunna modifiera integralen så att det kommer med i beräkningarna?

Yngve skrev:

Det du har ställt upp är ett korrekt uttryck för hur stort område det rör sig om, och det är ett jättebra första steg. En sak bara: Räkna i kilometer istället, dvs undre gräns 0,5 och övre gräns 4. Du kommer att förstå varför lite senare.

Nästa steg:

Det de frågar efter är inte hur stort området är utan istället hur många människor som bor i det området.

Om det bodde lika många människor överallt, säg 100 människor per kvadratkilometer, så skulle du bara kunna multiplicera områdets storlek (i kvadratkilometer) med 100 så skulle det vara klart.

Men nu är befolkningstätheten (dvs antal människor per kvadratkilometer) inte konstant utan beror istället på avståndet från stadens centrum enligt den givna funktionen.

Kan du då klura ut hur du ska kunna modifiera integralen så att det kommer med i beräkningarna?

Ska iväg strax men osäker hur jag ska modifiera integralen. Tänker att det står ju x$\sqrt{x}$i nämnaren. Har det nåt med det att göra? 0,5$\sqrt{4}$kanske?

RogTheMan,jag skulle verkligen råda dig att gå tillbaka och göra ett gammalt, offentligt NP för Ma1 och se om du har med dig kunskaperna från den kursen. Om inte - repetera! Gör därefter likadant med Ma2 och Ma3 innan du försöker mer med Ma4. Du kommer ingenstans om du saknar de grunder du förväntas ha.

Smaragdalena skrev:

RogTheMan,jag skulle verkligen råda dig att gå tillbaka och göra ett gammalt, offentligt NP för Ma1 och se om du har med dig kunskaperna från den kursen. Om inte - repetera! Gör därefter likadant med Ma2 och Ma3 innan du försöker mer med Ma4. Du kommer ingenstans om du saknar de grunder du förväntas ha.

Det ska jag definitivt göra i lugn o ro sen när jag gjort klart slutprovet på integraler. Nu hinner jag inte med det

Feltänk. Du har inte en chans att klara slutprovet på integraler om du inte har de förkunskaper som behövs.

RogTheMan skrev:

Det ska jag definitivt göra i lugn o ro sen när jag gjort klart slutprovet på integraler. Nu hinner jag inte med det

Vi ger dig tips och råd som helt och hållet baserar sig på gissningar kring din situation.

Om vi ska kunna ge dig bra hjälp som är anpassad just för dig så bör vi veta följande:

• Vilket gymnasieprogram läser du nu och tänker du senare fortsätta med studier inom teknik?
• Vilket betyg siktar du på i Matte 4?
• När är slutprovet på integraler och hur har det gått på de andra avsnitten i Matte 4?

Yngve skrev:

RogTheMan skrev:

Det ska jag definitivt göra i lugn o ro sen när jag gjort klart slutprovet på integraler. Nu hinner jag inte med det

Vi ger dig tips och råd som helt och hållet baserar sig på gissningar kring din situation.

Om vi ska kunna ge dig bra hjälp som är anpassad just för dig så bör vi veta följande:

• Vilket gymnasieprogram läser du nu och tänker du senare fortsätta med studier inom teknik?
• Vilket betyg siktar du på i Matte 4?
• När är slutprovet på integraler och hur har det gått på de andra avsnitten i Matte 4?

Teknisk basår på högskolan.

Gick in med detta utan direkta förkunskaper eller har kunskap men de är gamla. Satt arbetslös länge och ville ha nåt att göra. Ha nåt innehåll om dagarna och få lite social kontakt. Mådde dåligt en tid så sökte då tekniskt basår för ville utmana mig själv. Men med facit i hand så önskar jag att jag hade mer kött på ben. Hade vart en stor fördel. Rätt knäppt kan jag tycka nu men va lite desperat. Det bara blev.

Siktar på att bara klara nu. Inget annat. Efter det här har jag inte planerat nåt. Nu kom ju det där sketna corunaviruset oxå som sabbade möjligheterna till vidare studier. Tänkte på hp.

Slutprovet är på onsdag och är då väldigt orolig.

OK då förstår jag. Du har alltså ingen plan på att fortsätta med ngn teknisk utbildning efter ditt basår?

Om du bara vill klara och om provet är på onsdag så tror jag inte att du hinner gå igenom Matte 1 - Matte 3 som du egentligen borde.

------------

Tänk dig att integralen egentligen är en summa av areor, där varje term är arean av en jättesmal ring runt mittpunkten. Varje sådan ring ligger på avståndet x från mittpunkten, har "längden" $2\pi x$ och bredden $dx$. Därmed har varje ring arean $dA=2\pi x dx$ kvadratkilometer. Fråga om du behöver få det förklarat.

Eftersom alla punkter i den jättesmala ringen ligger på samma avstånd från centrum, dvs avståndet x, så kan vi anse att folktätheten är konstant i hela ringen och att den är just $f(x)$ personer per kvadratkilometer .

Totala antalet människor som bor i denna jättesmala ring blir då befolkningstäthet*area, dvs $f(x)\cdot2\pi x dx=\frac{15000}{x\sqrt{x}}\cdot2\pi x dx=\frac{30000\pi}{\sqrt{x}}$ personer.

Det är detta uttryck du nu ska integrera från $x=0,5$ till $x=4$ för att på så sätt summera antalet människor som bor i det området.

Jo vill fortsätta med nånting. Va inne på nå ingenjörsutbildning men behöver bli bättre på matte isånafall. Vet inte asså. Får se.

Hade sett fram emot o få göra hp men det Gick inte nu så får se vad som händer. 

Är inte hemma ska snart sätta mig ner när jag kommer hem. Tack så länge

${\int }_{0,5}^{4}f\left(x\right) * 2\mathrm{\pi x}\times \mathrm{dx}=\frac{15000}{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}}\times 2\mathrm{\pi xdx}=\frac{30000\mathrm{\pi }}{\sqrt{\mathrm{x}}}$

=${{\left[\frac{30000\mathrm{\pi }}{\sqrt{4}}-\frac{30000\mathrm{\pi }}{\sqrt{0,5}}\right]}^4}_{0,5}=-86162$

blir ju jättekonstigt svar. Var gjorde jag fel?

Kan du förklara lite det där med ringarean är du snäll?

Vi tar en sak i taget, börjar med att du har fel primitiv funktion.

Om $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-0,5}$ så är en primitiv funktion $F(x)=\frac{x^{0,5}}{0,5}$.

Är du med på det?

Yngve skrev:

Vi tar en sak i taget, börjar med att du har fel primitiv funktion.

Om $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-0,5}$ så är en primitiv funktion $F(x)=\frac{x^{0,5}}{0,5}$.

Är du med på det?

jaa såklart! Haft med den förut att göra. Såg det nu. Du är på sista ledet nu va? 30000pi/$\sqrt{x}$

jaa såklart! Haft med den förut att göra. Såg det nu. Du är på sista ledet nu va? 30000pi/x−−√x

Snålar du på blyet i pennan eller slarvar du nu?

Affe Jkpg skrev:

jaa såklart! Haft med den förut att göra. Såg det nu. Du är på sista ledet nu va? 30000pi/x−−√x

Snålar du på blyet i pennan eller slarvar du nu?

Förmodligen slarvar. Var kommer funktionen f(x)= $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-0,5}$ ifrån?

RogTheMan skrev:

Förmodligen slarvar. Var kommer funktionen f(x)= $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-0,5}$ ifrån?

I det här svaret försökte jag förklara att antalet personer som bor i den smala ringen med bredden $dx$ är $f(x)\cdot2\pi x dx=\frac{15000}{x\sqrt{x}}\cdot2\pi x dx=\frac{30000\pi}{x}dx=30000\pi\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}dx$.

Därifrån kommer uttrycket $\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Yngve skrev:

RogTheMan skrev:

Förmodligen slarvar. Var kommer funktionen f(x)= $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-0,5}$ ifrån?

I det här svaret försökte jag förklara att antalet personer som bor i den smala ringen med bredden $dx$ är $f(x)\cdot2\pi x dx=\frac{15000}{x\sqrt{x}}\cdot2\pi x dx=\frac{30000\pi}{x}dx=30000\pi\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}dx$.

Därifrån kommer uttrycket $\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Okej Jag förstår. Och det är utifrån det jag ska hitta de primitiva funktionerna va? F(x)

Ja, antalet invånare som bor på avståndet 500 meter till 4 kilometer från stadens centrum är $N={\int }_{0,5}^{4}30000\mathrm{\pi }·\frac{1}{\sqrt{x}}dx=30000\mathrm{\pi }·{\int }_{0,5}^4{\mathrm{x}}^{-0,5}d\mathrm{x}$ 

Vet inte riktigt hur jag ska ställa upp det. Vet att x$\sqrt{x}$är det samma som x¹ * x^0,5 = x^1,5 .

Men hur ställer jag upp då tex med 15000/x^1,5  * 2$\mathrm{\pi xdx}$

Eller? $\sqrt{x} är ju som du säger x^{0,5}$

${\int }_1^{4}f\left(x\right) * 2\mathrm{\pi x} \times \mathrm{dx}= \frac{15000}{{\mathrm{x}}^{1,5}}\times 2\mathrm{\pi x}\times \mathrm{dx} = \frac{30000\mathrm{\pi }}{{\mathrm{x}}^{0,5}}$?

RogTheMan skrev:

Vet inte riktigt hur jag ska ställa upp det. Vet att x$\sqrt{x}$är det samma som x¹ * x^0,5 = x^1,5 .

Men hur ställer jag upp då tex med 15000/x^1,5  * 2$\mathrm{\pi xdx}$

Eller? $\sqrt{x} är ju som du säger x^{0,5}$

${\int }_1^{4}f\left(x\right) * 2\mathrm{\pi x} \times \mathrm{dx}= \frac{15000}{{\mathrm{x}}^{1,5}}\times 2\mathrm{\pi x}\times \mathrm{dx} = \frac{30000\mathrm{\pi }}{{\mathrm{x}}^{0,5}}$?

Läs mitt senaste svar igen. Där står precis hur integralen ska se ut.

Om du vill veta varför integralen ser ut just på det sättet kan du läsa det här svaret igen.

Yngve skrev:

Ja, antalet invånare som bor på avståndet 500 meter till 4 kilometer från stadens centrum är $N={\int }_{0,5}^{4}30000\mathrm{\pi }·\frac{1}{\sqrt{x}}dx=30000\mathrm{\pi }·{\int }_{0,5}^4{\mathrm{x}}^{-0,5}d\mathrm{x}$ 

De primitiva funktionerna:

N=${\int }_{0,5}^{4}30000\mathrm{\pi }\times \frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{dx} = 30000\mathrm{\pi }\times {\int }_{0,5}^{4}2\sqrt{x}$ Så? Denna va lite knepig att ställa upp tycker jag

Du tänker kanske rätt men du skriver fel. När du tar fram en primitiv funktion ska du inte längre behålla integralsymbolen.

Läs detta avsnitt om hur integraler beräknas och hur du använder ett korrekt skrivsätt för det.

Fråga här om det är något i det avsnittet du inte förstår.

Yngve skrev:

Du tänker kanske rätt men du skriver fel. När du tar fram en primitiv funktion ska du inte längre behålla integralsymbolen.

Läs detta avsnitt om hur integraler beräknas och hur du använder ett korrekt skrivsätt för det.

Fråga här om det är något i det avsnittet du inte förstår.

Vet hur man skriver. ${\int }_a^{b}f\left(x\right) ={{\left[F\left(x\right)\right]}^b}_a=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

RogTheMan skrev:

Yngve skrev:

Ja, antalet invånare som bor på avståndet 500 meter till 4 kilometer från stadens centrum är $N={\int }_{0,5}^{4}30000\mathrm{\pi }·\frac{1}{\sqrt{x}}dx=30000\mathrm{\pi }·{\int }_{0,5}^4{\mathrm{x}}^{-0,5}d\mathrm{x}$ 

De primitiva funktionerna:

N=${\int }_{0,5}^{4}30000\mathrm{\pi }\times \frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{dx} = 30000\mathrm{\pi }\times {\int }_{0,5}^{4}2\sqrt{x}$ Så? Denna va lite knepig att ställa upp tycker jag

Lite osäker på vad som är integranden i det här fallet bara.

okej så. ${{\left[30000\mathrm{\pi }\times 2\sqrt{\mathrm{x}}\right]}^4}_{0,5}$

Blir bara fel. Vad missar jag?

Härifrån? Okej ${{\left[30000\mathrm{\pi }\times 2\sqrt{\mathrm{x}}\right]}^4}_{0,5}=30000\mathrm{\pi }\times 2\sqrt{4} -( 30000\mathrm{\pi }\times 2\sqrt{0,5})$

=376991 - 133286 =243705

Visa hur du fortsätter därifrån.

Yngve skrev:

Visa hur du fortsätter därifrån.

Editerade en tidigare ruta. Svaret ska bli 867 såg jag nu

867 kan inte stämma.

Områdets area är $16\pi -0,25\pi\approx50$ kvadratkilometer.

Om antalet invånare i det området endast är 867 så måste den genomsnittliga befolkningstätheten vara ungefär 867/50 = 17 invånare per kvadratkilometer.

Det stämmer inte alls med f(x) som är ungefär 42 000 invånare per kvadratkilometer på 500 meters avstånd till centrum och ungefär 1 900 invånare per kvadratkilometer på 4 kilometers avstånd från centrum.

Kan du ladda upp en bild av både frågan och facit?

Yngve skrev:

867 kan inte stämma.

Områdets area är $16\pi -0,25\pi\approx50$ kvadratkilometer.

Om antalet invånare i det området endast är 867 så måste den genomsnittliga befolkningstätheten vara ungefär 867/50 = 17 invånare per kvadratkilometer.

Det stämmer inte alls med f(x) som är ungefär 42 000 invånare per kvadratkilometer på 500 meters avstånd till centrum och ungefär 1 900 invånare per kvadratkilometer på 4 kilometers avstånd från centrum.

Kan du ladda upp en bild av både frågan och facit?

Hur fick du 16$\mathrm{\pi }$?

Har bara egentligen en vägledning såg jag nu.

$16\pi$ km² är arean av en cirkel med radien 4 km.

Det där med S är konstigt. Vad ska det betyda? Vad är S? Räknar man ut integralen blir det -867, inte 867.

Vad är det för bok?

RogTheMan skrev:

Har bara egentligen en vägledning såg jag nu.

Uppgiften är otydlig och lösningen är direkt felaktig.

Varifrån har du hämtat den?

Yngve skrev:

RogTheMan skrev:

Har bara egentligen en vägledning såg jag nu.

Uppgiften är otydlig och lösningen är direkt felaktig.

Varifrån har du hämtat den?

Vi fick den av läraren som instuderingsfråga bland andra frågor då. Dessa har använts till tidigare prov.

Vet inte asså. Hur ska ja tänka då?

RogTheMan skrev:

Vi fick den av läraren som instuderingsfråga bland andra frågor då. Dessa har använts till tidigare prov.

Vet inte asså. Hur ska ja tänka då?

Jag tror att både Affe, Smaragdalena och jag har tolkat uppgiften på samma sätt och att vi alla anser att korrekt sätt att lösa den är just det som vi har hjälpt dig att komma fram till.

Förstod du tankebanorna i den lösningen?

---------

Ett enkelt sätt att se att S i lösningsförslaget inte kan avse antalet personer är en enhetsanalys. Eftersom f(x) tydligen är antal invånare per kvadratkilometer [$\frac{inv}{km^2}$] och denna storhet integreras från x = 500 meter till x = 4000 meter [$m$] så kommer S att få enheten "invånare per kvadratkilometer gånger meter" [$\frac{inv}{km^2}\cdot m$] och inte "invånare" som väntat.

1) Integralen $S$ så som den är skriven i bilden är lika med $867$.

2) Precis som Yngve säger går enhetsanalysen inte ihop.
Den enda förklaringen jag kan se är att den som skrev frågan angav fel enhet för $f\left(x\right)$.
För att $S$ skall få enheten $\left[inv\right]$ måste $f\left(x\right)$ ha enheten $\left[\raisebox{1ex}{$inv$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$m$}\right.\right]$.
$f\left(x\right)$ måste alltså beskriva antalet innevånare per meter från centrum, inte per kvadratkilometer i allmänhet.

Denna slutsats är dock enbart en efterhandskonstruktion utifrån det angivna facit.
Om jag hade fått en så illa formulerad fråga när jag studerade hade jag tagit upp saken med läraren.
Om frågan kommit upp på ett prov och det i bilden varit det förväntade svaret hade jag anmält saken till studienämnden.

Det man har räknat ut är hur många personer som kan förväntas bo på en 3,5 km lång rät linje som startar 0,5 km från centrum och slutar 4,0 km från centrum. En helt ointressant siffra.

Jag utvecklar Affes figur med en liten komplettering:

Om vi klipper upp cirkelstrimlan, viker ut den, så får vi en infinitesimal "rektangel" med arean $dA=2\pi x\, dx$

Den korrekta integralen borde därför skrivas:

$\int\limits_{500}^{4000} f(x)\, dA=$

$=\displaystyle\int\limits_{500}^{4000} \dfrac{15000}{x\sqrt{x}}\cdot 2\pi x\, dx$.

M a o är facit felaktigt.

Affe Jkpg skrev:

Förlåt om jag är trög men vad är i det här fallet en yta? vet inte asså suck

 

Tack dr_lund för din komplettering ...

dr_lund skrev:

[...]

Den korrekta integralen borde därför skrivas:

$\int\limits_{500}^{4000} f(x)\, dA=$

$=\displaystyle\int\limits_{500}^{4000} \dfrac{15000}{x\sqrt{x}}\cdot 2\pi x\, dx$.

M a o är facit felaktigt.

Nej det stämmer inte heller.

Enligt uppgiften anger f(x) antalet invånare per kvadratkilometer. Då bör integrationsvariabeln anges i kilometer, inte i meter.

Annars får ju resultatet enheten [$\frac{inv\cdot m^2}{km^2}$].

Men att det står fel i vägledningen/facit är vi alla överens om.

RogTheMan skrev:

Detta är tydligen uträkningen. Vet inte om det syns så bra 

Oj, Yngve: Jag tänkte faktiskt x i km. Men  i hastigheten blev gränserna felaktiga. Tack för din klarsyn!

$\displaystyle\int\limits_{0.5}^{4}\dfrac{15000}{x\sqrt{x}}\cdot 2\pi x\, dx$

dr_lund skrev:

Oj, Yngve: Jag tänkte faktiskt x i km. Men  i hastigheten blev gränserna felaktiga. Tack för din klarsyn!

$\displaystyle\int\limits_{0.5}^{4}\dfrac{15000}{x\sqrt{x}}\cdot 2\pi x\, dx$

Vi gick igenom det idag.

Ok Bra Ska vi säga ”Case closed”? 

dr_lund skrev:

Ok Bra Ska vi säga ”Case closed”? 

Ja haha utdragen och jobbig. Tack ändå för hjälpen:)

Ok! Hoppas du lärde dig något. 

RogTheMan skrev:

Vi gick igenom det idag.

Gick ni igenom med läraren alltså?

Och vad kom ni då fram till?

Yngve skrev:

RogTheMan skrev:

Vi gick igenom det idag.

Gick ni igenom med läraren alltså?

Och vad kom ni då fram till?

Som uträkningen visar på lappen. Missade lite för stack på toa men ingen snack om en cirkel iallafall. x¹ + x^0,5 är 3/2.

Sen dela man $\frac{{4000}^{-0,5}}{-0,5}-\frac{{500}^{-0,5}}{-0,5}$. Använde inte km heller utan m

Jag har med stigande förvåning följt tråden. Beskrivningen av genomgången med läraren lämnar onekligen en del i övrigt att önska. Totalt felaktigt!

Visa den här tråden för din lärare och be att få en förklaring.