Antal heltal i geometrisk talföljd

Visa hur du har prövat.

Är du med på att det är nämnaren i ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$ som gör att $a_n$ inte alltid blir ett heltal?

Vilka villkor måste gälla för den nämnaren för att $a_n$ ska bli ett heltal?

Kom nyss på att:

$54 =\hspace{0.17em}2*3^3$

Så multiplikation med $(-2/3)$ blir följande: $2*3^3*\left(\frac{-2}{3}\right)= \frac{2*3*3*3*-2}{3}=2*-2*3^2$

Kan jag då skriva att multiplikation med uttrycket $\frac{-2}{3}$ medför en division med tre, och efter tre divisioner har termen $3^3$ dividerats bort, vilket efteråt ger produkter som inte är heltal? 

(Tre multiplikationer innebär att $n = 4$). 

didnotcomeuptosomething skrev :

Kom nyss på att:

54 = 2*33

Så multiplikation med (-2/3) blir följande: 2*33*(-23)= 2*3*3*3*-23=2*-2*32

Kan jag då skriva att multiplikation med uttrycket -23 medför en division med tre, och efter tre divisioner har termen 33 dividerats bort, vilket efteråt ger produkter som inte är heltal? 

(Tre multiplikationer innebär att n = 4). 

Jättebra! Helt rätt.

Vidareutveckla och skriv din lösning här.

Skriv även vilka n som ger vilka heltal.

Det finns en twist (som jag helst ser att du kommer på själv). 

$$\begin{gathered} 54=2*3^3 \\ {a}_n=2 * 3^{4-n} * {\left(\frac{-2}{3}\right)}^{n-1} \\ n = 4 \to a_4=\frac{2*16}{3}\cong 10.67 \end{gathered}$$

Gäller för $n =\hspace{0.17em}1, 2, 3, 4$ (i och med termen $3^{4-n}$).

Vet inte vad du pratar om för twist.. uppgiften ger bara ett A-poäng så tror det jag skrev är nog men om du orkar gå igenom twisten får du gärna göra det :-)

Svaret ska vara 4 heltalselement, men det är inte för de värden på n som du har nämnt.

Du tänker helt rätt med primtalsfaktorisering av 54 och analys av vilka nämnare som jämnt kan dela just 54.

Men slutsatserna du drar är fel (och du ställer upp och beräknar uttrycken felaktigt).

Verifiera ditt resultat genom att uttryckligen pröva vad som händer om n = 1, 2, 3 och så vidare.

Ja, ser nu att jag gjort fel. Provar det du föreslår.

$$\begin{gathered} 2*3^3*{\left(\frac{-2}{3}\right)}^{1-1}=2*3^3=54 \\ 2*3^3*{\left(\frac{-2}{3}\right)}^{2-1}=\frac{2*-2*3*3*3}{3}=2*-2*3^2=-4*3^2=-36 \\ 2*3^2*{\left(\frac{-2}{3}\right)}^{3-1}=\frac{2*-2*3*3}{3}=2*4*3=24 \\ 2*3*{\left(\frac{-2}{3}\right)}^{4-1}=\frac{2*-2*-2*-2*3}{3}=2*-8=-16 \\ 2*{\left(\frac{-2}{3}\right)}^{5-1}=\frac{2*-2*-2*-2*-2}{3}=\frac{2*16}{3}\cong 10.67 \end{gathered}$$

Ovanstående är beräkningar för när n = 1, 2, 3, 4 och 5 (där produkten inte blir ett heltal). För att vara helt ärlig kommer jag inte på något mer ehm..

$(-1{)}^{n+1}*2^n*3^{4-n}$   .. har ingen aning.

Jag ser nu att det är jag som har missat.

Twisten är det femte elementet (för övrigt en toppenfilm med Bruce Willis, Milla Jovovich och Gary Oldman).

Du har kommit fram till korrekta svar:

54 för n = 1

-36 för n = 2

24 för n = 3

-16 för n = 4

För n > 4 finns inga heltalsvärden.

Men det finns ett n till som ger heltalslösning. Vilket kan det vara?

Beside the point, men ändå: Dina likheter stämmer inte för n = 3, 4 och 5.

Ditt uttryck $a_n = 2·3^{\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{n}}·{\left(-\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$ stämmer inte.

Primtalsfaktoriseringen av 54 är ju $54 = 2·3^3$, vilket är en konstant som inte beror på n.

Det ska vara $a_n = 54·{\left(-\frac{2}{3}\right)}^{n-1} = 2·3^{\mathbf{3}}·{\left(-\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$

$$\begin{gathered} 54*{\left(\frac{-2}{3}\right)}^{-1}=54*\frac{1}{{\displaystyle \frac{-2}{3}}}=\frac{54*3}{-2}=-81 \\ \frac{2*3*3*3*3}{-2}=-81 \end{gathered}$$

Jaha, nu ser jag att även n = 0 gäller.  Jag har fortfarande inget bra sätt att formulera allt det här å andra sidan :/  

didnotcomeuptosomething skrev :

$$\begin{gathered} 54*{\left(\frac{-2}{3}\right)}^{-1}=54*\frac{1}{{\displaystyle \frac{-2}{3}}}=\frac{54*3}{-2}=-81 \\ \frac{2*3*3*3*3}{-2}=-81 \end{gathered}$$

Jaha, nu ser jag att även n = 0 gäller.  Jag har fortfarande inget bra sätt att formulera allt det här å andra sidan :/  

Bra!

Det finns alltså 5 heltalsvärden, för n = 0, 1, 2, 3 och 4.

Angående formuleringen så borde det räcka bra att:

• Du visar att du förstår sambandet mellan primtalsfaktorerna i 54 och nämnaren i ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$.
• Du resonerar kring att den nämnaren får innehålla max 3 st treor och max 1 st tvåa.
• Du visar vilka exponenter n-1 som ger nämnare som uppfyller villkoren och varför inga andra exponenter gör det.
• Du prövar du din teori genom att beräkna $a_n$ för de olika n-kandidaterna (samt ett par utanför gränsen).