Antal delmängder

Skall (A union B) bli {1, 2, 3, 4, 5} och A är {1, 2, 3, 4} så måste B innehålla det saknade elementet 5 och i övrigt kan B enbart innehålla objekten i mängd A. Skulle 6, 7 eller 8 vara en del av B skulle de ingå även i unionen, och det gör de ju inte.

De möjliga mängderna får man genom att för varje objekt i A ta ställning till om det är med eller inte i mängden B; detta blir 2*2*2*2 = 16 stycken möjliga mängder.

b) Vi vet att de enda element som ingår i både A och B är 1 och 2. Det betyder att 3 eller 4 inte ingår i B. För vart och ett av elementen 5, 6, 7, 8 behöver vi avgöra om de skall ingå i mängden B eller inte, på samma sätt som Bedinsis beskrev.

Vet inte om jag kanske tolkar frågan fel, men i a) tycker jag att B mycket väl skulle kunna vara antingen {5}, {1,5},{2,5},{3,5},{4,5} eller någon annan större mängd med kombinationer av elementen {1,2,3,4,5}. Då vi inte vet hur B ser ut, hur kan vi då beräkna antalet delmängder för B i U?

På samma sätt förstår jag inte resonemanget i b) där jag tycker B ex v borde kunna vara {1, 2, 5, 6, 7, 8} eller någon annan kombination som inte innehåller elementen 3 och 4?

I c) blir väl snittet av A och B= {1,2,3,4} eftersom vi vet att 5, 6 och 8 inte ingår i A. Då borde B kunna vara ex v hel U {1,2,3,4,5,6,7,8}. Hur kan delmängden av detta bli noll?

Jorgen skrev:

Vet inte om jag kanske tolkar frågan fel, men i a) tycker jag att B mycket väl skulle kunna vara antingen {5}, {1,5},{2,5},{3,5},{4,5} eller någon annan större mängd med kombinationer av elementen {1,2,3,4,5}. Då vi inte vet hur B ser ut, hur kan vi då beräkna antalet delmängder för B i U?

Javisst, det är ju det vi säger. Vi vet att B innehåller 5 och att B inte innehåller 6, 7 eller 8. Är 1 med? Ja/nej, två möjligheter. Är 2 med? 2 möjligheter. Är 3 med? Två möjligheter. Är fyra med? Två möjligheter. Är 5 med? Ja, en möjlighet. Är 6 med? Nej, en möjlighet. Är 7 med? Nej, en möjlighet. Är 8 med? Nej, en möjlighet. 2^.2^.2^.2^.1^.1^.1^.1 = 16 så det finns 16 möjligheter.

På samma sätt förstår jag inte resonemanget i b) där jag tycker B ex v borde kunna vara {1, 2, 5, 6, 7, 8} eller någon annan kombination som inte innehåller elementen 3 och 4?

I c) blir väl snittet av A och B= {1,2,3,4} eftersom vi vet att 5, 6 och 8 inte ingår i A. Då borde B kunna vara ex v hel U {1,2,3,4,5,6,7,8}. Hur kan delmängden av detta bli noll?

Tack Smaragdalena. Din sista förklaring var riktigt bra och logisk. Kan du förklara b) och c) uppgifterna på motsvarande sätt?

Vi vet att de element som ingår i både A och B är 1 och 2, och att A är {1,2,3,4}. Det betyder att 3 och 4 inte ingår i B, och elementen 5,6,7,8 kan antingen ingå eller inte.

Så vad ingår i B? 1 - ja, en möjlighet, 2 - ja, en möjlighet, 3 nej, en möjlighet, 4 nej, en möjlighet, 5 ja eller nej, två möjligheter, 6 ja eller nej, två möjligheter,  7 ja eller nej, två möjligheter, 8 ja eller nej, två möjligheter, så totoalt 1^.1^.1^.1^.2^.2^.2^.2 = 16 olika möjligheter.

Läs nu igenom vad Bedinsis skrev i inlägg #2 och jag skrev i inlägg #3 så ser du att vi redan har skrivit precis det här.

Ok tack igen. Jag inser tankegången nu. Men ni utelämnade c)-uppgiften som är svår att förstå även med ert logiska resonemang. Snittet av A och B borde bli {1,2,3,4,5,6,8} vilket ju omöjligt då vi vet att A = {1,2,3,4}. Men det är kanske det de menar när de bara skriver 0 i facit?

Ja.

För att komplementet till mängden skall bestå av {7} vill det till att mängden självt är alla objekt utom 7, dvs. {1,2,3,4,5,6,8}. Mängden råkar dock vara ett snitt mellan två mängder, A och B, varav A är {1,2,3,4}. A i snitt med en annan mängd kan som mest innehålla samtliga objekt i A, så det finns inga möjliga mängder B sådana att {5, 6, 8} finns i snittet med A, och därmed kan snittets komplement omöjligen bli {7}, precis som du skrev.