Antagligen enkelt.

Hej.
Jag har råkat fastna på en av förra årets NP uppgifter, en "ganska" enkel.
${z^{10} - 1 = 0}^{}$
Ange en icke reel rot.
Antar att en icke reel rot skulle vara -i, men stämmer det och vilka regler är det som gör det om det stämmer. Min tanke är att:

$z^{10} = 1 \Rightarrow {(a + b i)}^{10} = 1$
Sätter jag a till 0 så blir det:

${(b i)}^{10} = 1$

$i^{2} = - 1$
$- 1^{5} = - 1$
Ger b=-1
Har jag tänkt rätt när jag då svarar z=-1i
Oavsett tacksam för svar!

Akira skrev:
Hej.
Jag har råkat fastna på en av förra årets NP uppgifter, en "ganska" enkel.
${z^{10} - 1 = 0}^{}$
Ange en icke reel rot.
Antar att en icke reel rot skulle vara -i, men stämmer det och vilka regler är det som gör det om det stämmer. Min tanke är att:

$z^{10} = 1 \Rightarrow {(a + b i)}^{10} = 1$
Sätter jag a till 0 så blir det:

${(b i)}^{10} = 1$

$i^{2} = - 1$
$- 1^{5} = - 1$

Här glömmer du parenteser! Det du skriver är också sant, men har inget med uppgiften att göra.

Ger b=-1
Har jag tänkt rätt när jag då svarar z=-1i
Oavsett tacksam för svar!

(-i)¹⁰ =(- i)⁴(-i)⁴(-i)² = 1^.1^.(-1) = -1. Det stämmer alltså inte, eftersom z¹⁰ skulle ha värdet 1, inte -1.

Ett annat sätt att tänka: Eftersom absolutbeloppet av 1 är just 1 kommer alla lösningar ligga på en cirkel runt origo med radien 1 och vara jämnt fördelade på denna. De reella talen z = 1 och z = -1 uppfyller ekvationen. dessa ligger på reella axeln, d v s argumenten är 0 respektive pi. De övriga talen ligger jämnt fördelade på cirkeln, d v s deras argument är n^.pi/5.

Har förstått att det har med de Moivres formel att göra löser på den nu!
Kommer att hitta lösningen även om det knappast kommer att behövas eftersom de Moivre är bortplockad från formelsamlingen på ma4.

Svara