Ansätt homogena ekvationen Asin(2x)+Bcos(2x) istället för Ce^(rx)

Man ansätter väl en partikulärlösning och räknar ut en homogen lösning i normalfallet? Det är när den karaktäristiska ekvationen, i ditt fall r^2+4=0, har komplexa lösningar som man skriver om de till sin och cos från det e^i... man får.

Jag skulle vilja utveckla det en smula. Du börjar alltid med att lösa $y_H$, vilket blir $y_H(x)=A\sin 2x + B \cos 2x$.

Inhomogena fallet: Den traditionella ansatsen $y_p= c \sin 2x+d \cos 2x$ fungerar inte, eftersom denna inhomogena ansats redan är  homogena lösningar. I stället löser vi det inhomogena fallet med den komplexa metoden. Ansätt altså $y_p=z(x)\cdot e^{i 2x}$.

Märker att jag var otydlig med över vad jag var förvirrad över. Det jag var förvirrad över var varför man skulle ansätta en trigonometrisk homogen lösning och inte ansätta en Ce^(rx) homogen lösning som man gör ofta annars.

Hej,

Den homogena lösningen ansätts aldrig utan räknas fram; det är partikulärlösningen som ansätts och dess koefficienter matchas mot randvillkor.