Ännu ett gränsvärde

Undersök för k=2,3...

$\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n^{k}})}^{n}$

samt för a>1

$\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{a^{n}})}^{n}$

Jag har för mig att man skall stänga in det första gränsvärdet mellan 1, och använda instängningssatsen.

Kanske detta är en början?

${(1 + \frac{1}{n^{k}})}^{n} = e^{n \ln (1 + \frac{1}{n^{k}})}$

Hej!

Olikheten $\ln(1+x) \leq x$ giltig för positiva $x$ ger

$e^{n\ln(1+n^{-k})} \leq e^{n^{1-k}}$ ,

vilket närmar sig 1 då $n$ växer (eftersom $k>1$ ). Talet 1 är en trivial nedre begränsning av talföljden. Instängsningssatsen ger därför gränsvärdet 1, för varje val av $k>1;$ för $k=1$ blir gränsvärdet lika med talet $e$ .

Albiki

Svara