Ange samtliga lösningar i radianer

Ja, lösningen är rätt.

För att se om det går att förenkla:

1. Rita en urtavla.
2. Rita in en minutvisare som motsvarar en vinkel ur första lösningsmängden.
3. Rita in en minutvisare som motsvarar en vinkel ur andra lösningsmängden.
4. Se om du ser något mönster.

Hur kan man se ett mönster med hjälp av enhetscirkel? Jag förstår inte hur jag ska rita urtavlan

OK rita in lösningarna i enhetscirkeln istället, det kanske går lika bra.

1. Markera tydligt den punkt på enhetscirkeln som pekas ut av en radie med den vinkel du får ur första lösningsmängden då n = 0, dvs vinkeln pi/2.
2. Markera sedan tydligt den punkt på enhetscirkeln som pekas ut av en radie med den vinkel du får ur andra lösningsmängden då n = 0, dvs vinkeln 5pi/2.

Visa din bild.

Båda vinklarna kommer vara 90 grader 

Du tänker rätt (men skriver fel).

Ena vinkeln kommer att vara 90 grader.

Den andra vinkeln kommer att vara 450 grader.

Men det viktiga är att båda vinklarna pekar ut samma punkt på enhetscirkeln.

Om du nu väljer n = 1, vilka vinklar får du då och vilka punkter på enhetscirkeln pekas då ut?

Jag får vinkeln 90 grader. Jag tänker att 450-360=90 grader, alltså hamnar på 90 grader 

Det stämmer att vinkeln pi/2 är lika med 90 grader.

Men vinkeln 5pi/2 är lika med 450 grader.

Vinkeln 90 grader är inte samma vinkel som vinkeln 450 grader.

Vinkeln pi/2 är inte samma vinkel som vinkeln 5pi/2.

Men däremot stämmer det att båda dessa vinklar pekar ut samma punkt på enhetscirkeln, vilket innebär att sin(pi/2) = sin(5pi/2) och att cos(pi/2)= = cos(5pi/2).

Så, vilka vinklar får du då n = 1 och vilka punkter pekar dessa vinklar ut?

Hur kan man isåfall förenkla lösningsmängden?

Vi är inte framme där ännu.

Vilka vinklar får du om n = 1?

Vilka vinklar får du om n = 2?

Om n=1

då är x1=5pi/2 + 6pi 

och x2=pi/2 + 6pi

—

om n=2

x1=5pi/2 + 6pi *2 

mich x2= pi/2 + 6pi *2

Bra, nu har du 6 vinklar som alla är lösningar till ekvationen.

Det finns oändligt många fler, men det här räcker nog för att se om det finns något mönster vi kan använda eller inte.

Skriv nu en lista på alla dessa vinklar i storleksordning.

Hur stor skillnad är det mellan två närliggande vinklar?

Är denna skillnad konstant, dvs samma hela tiden, så kan vi beskriva vinklarna med en enda mängd.

Jag ser inget mönster 🙈 Det enda jag ser att vi ändrar på n värdet, 1,2,3..osv

Har du gjort listan på vinklar och sorterat den i storleksordning?

Du kan skriva vinklarna i grader om du vill.

Om n = 1

x1=450 +1080 

x2= 90 + 1080 

om n=2

x1=450 + 2160 

x2=90 + 2160

Vad för mönster ska man kunna se?

Jag sa att du skulle skriva dem i storleksordning.

Jag börjar:

90 grader

450 grader

1170 grader

1530 grader

o.s.v.

Hur stor är skillnaden mellan två närliggande vinklar?

Är den alltid lika stor?

I så fall kan vi enkelt skriva ihop alla vinklar till en lösningsmängd.

Annars är det svårt.

Det är alltid 360 *n , alltså om n=1 då är det 360 grader i mellan varje vinkeln. Om n=2 då är det 720 grader osv

Kan det skrivas som (pi/2) + 2pi •n=y

Ibland är skillnaden 360°, ibland ät skillnaden 720°.

Då går det inte att skriva ihop på ett förenklat sätt.

Yngve skrev:

Hur stor är skillnaden mellan två närliggande vinklar?

Är den alltid lika stor?

I så fall kan vi enkelt skriva ihop alla vinklar till en lösningsmängd.

Annars är det svårt.

Nej det är inte lika stort mellan varje vinkel 

Varannan gång är skillnaden 360°, varannan gång är skillnaden 720°.

Vad betyder det? Hur ska man tänka? 

På din urtavla så har du två minutvisare. En minutvisare som pekar rakt uppåt var tredje timme (motsvarar lösningarna $\frac{\pi}{2}+n\cdot6\pi$) och en annan minutvisare som även den pekar rakt uppåt var tredje timme (motsvarar lösningarna $\frac{5\pi}{2}+n\cdot6\pi$).

Eftersom dessa minutvisare är förskjutna gentemot varandra med en hel timme så kommer din klocka varje hel timme bete sig så här: "pip", "pip", "tyst", "pip", "pip", "tyst" och så vidare.

Om vi börjar klockan 00:00 så kommer klockan alltså att pipa 00:00, 01:00, 03:00, 04:00, 06:00, 07:00 och så vidare.

Det är alltså inte ett jämnt mönster eftersom var tredje timme "saknas".

Man borde isåfall inte kunna förenkla lösningen. Utan x1= pi/2 + n•6pi 

och x2= 5pi/2 + n• 6pi

Det stämmer.

Du kan även se detta i din sorterade lista av lösningar, som är

pi/2

5pi/2

13pi/2

17pi/2

25pi/2

29pi/2

37pi/2

41pi/2

och så vidare.

Du ser att skillnaderna mellan lösningarna är 2pi, 4pi, 2pi, 4pi, 2pi, 4pi och så vidare. 

Man kan alltså enbart förenkla den första ekvationen 

(pi)/2 + 6pi•n till pi/2 + (pi/2) • n 

Eller? 

Nej det stämmer inte. Mängden $\frac{\pi}{2}+n\cdot\frac{\pi}{2}$ innehåller ju vinklarna $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$, $\frac{6\pi}{2}$ o.s.v.

Dvs minutvisare som dessutom pekar rakt åt vänster, rakt nedåt och rakt åt höger.

Ingen av dessa finns med i ursprungsmängden $\frac{\pi}{2}+n\cdot6\pi$.

Vore bättre om vi istället tar allt från början. Och börjar stegvist med förklaringen, dvs 1.2.3..osv som vi alltid gör. För jag förstår inte hur man förenklar en ”lösningsmängd”

Är det här fel att förenkla lösningsmängden till (pi/2)•n?

Ja det är fel. Då skulle t.ex. $3\mathrm{\pi }$ vara en lösning. Men den lösningen finns inte med i VL.

Katarina149 skrev:

Vore bättre om vi istället tar allt från början. Och börjar stegvist med förklaringen, dvs 1.2.3..osv som vi alltid gör. För jag förstår inte hur man förenklar en ”lösningsmängd”

1. Ekvationen $\sin(\frac{x}{3})=0,5$ har de två lösningsmängderna $x_1=\frac{\pi}{2}+n\cdot6\pi$ och $x_2=\frac{5\pi}{2}+n\cdot6\pi$.
2. Vinklarna i lösningsmängden $x_1$ kan illustreras av en minutvisare som pekar rakt uppåt var tredje timme.
3. Lösningsmängden $x_1$ går inte att förenkla mer.
4. Vinklarna i lösningsmängden $x_2$ kan illustreras av en minutvisare som pekar rakt uppåt var tredje timme, med en timmes förskjutning relativt vinklarna ur $x_1$.
5. Lösningsmängden $x_2$går inte att förenkla mer.

Du får alltså svara med två lösningsmängder $x_1$ och $x_2$.

Kan du förklara varför det inte går att förenkla lösningsmängden mha en bild?

Vilken lösningsmängd menar du?

Undrar du 

1. varför det inte går att förenkla $x_1$ mer?
2. varför det inte går att förenkla $x_2$ mer?
3. varför det inte gär att kombinera $x_1$ och $x_2$ till en enda lösningsmängd?

Jag undrar om alla tre 1,2 och 3

Att förklara varför 1 och 2 inte går att förenkla mer är inte lätt, men jag gör ett försök:

1. Försök att formulera följande mening på ett enklare sätt: "Klockan piper var tredje heltimme".
2. Försök att formulera följande mening på ett enklare sätt: "Klockan piper var tredje heltimme".
3. Försök att formulera följande mening på ett enklare sätt: "Klockan piper två heltimmar i rad och är sedan tyst den tredje heltimmen. Detta mönster upprepar sig för evigt".

Klarar du någon av dessa? Det gör inte jag.

1. Enhetscirkeln har en period var 60 grader. 
2. samma som ovan 

3. Jag förstår inte hur jag ska förenkla här 

Katarina149 skrev:

1. Enhetscirkeln har en period var 60 grader. 

Jag förstår inte vad du menar med den meningen.

Kan du förklara?

Eller Nej.. Det var helt fel tänkt . Jag förstår inte din förklarings metod med klockan som piper. Kan du förklara på ett annat sätt genom att använda en annan metod?

Hej! 

Du har löst det rätt, och det går inte att förenkla svaret, utan det finns 2 uttryck för svaret. Yngve försökte få dig att inse detta genom sitt resonemang. Svaret blir alltså som du ursprungligen skrev:

1) pi/2  + 6*pi*n

2) 5*pi/2 +6*pi*n 

Hur ska du då veta om det går att förenkla? Ja, för att förenkla ytterligare så måste det finnas en logik enligt vilken de svar som du får enligt 1) och 2) kan ersättas av ett annat uttryck, som fångar alla de lösningar som är möjliga enligt 1) och 2).  Om du räknar ut värdena i 1) och 2) för n = 0, 1, 2 och 3 (t.ex.) så får du en talserie. Finns det något uttryck för denna talserie - i så fall så är detta förenklingen. Om det inte finns något uttryck som fångar alla svar, då går det inte att förenkla utan 1) och 2) är så enkelt som det blir...

Hej! Jag förstår vad du menar. Men det vore bra om du kunde ge ett exempel på när det går att förenkla 

Katarina149 skrev:

Hej! Jag förstår vad du menar. Men det vore bra om du kunde ge ett exempel på när det går att förenkla 

Här är ett exempel.

Här är ett annat.

Och här är ett tredje.

Okej. Det går alltså att inte förenkla lösningsmängden! Det jag gjorde för att förstår är att testa med n=0 och n=1

Jag fick ingen ”talföljd” så man bör se att det inte går att förenkla 

Ja, det var det jag skrev i det här svaret.

(Första vinkeln ska vara $\frac{\pi}{2}$, dvs 90°.)