Ange på formen a+bi utifrån givet absolutbelopp och argument (Matematik/Universitet)

poijjan skrev:
Ange på formen a+bi de komplexa tal vars absolutbelopp och argument är; $\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{π}{4}$

Vart blir det fel ?

cos(-pi/4) = 1/rotenur(2)

sin(-pi/4) = -1/rotenur(2)

(1/rotenur(2))^2 = 1/2, inte 1/rotenur(2)

Inledningsvis:

$z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\pi /4}$ .
Det är på sin plats att tipsa om de tre

” standardvinklarna” $\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}$ . Lär dig att härleda cosinus, sinus och tangens för dessa tre.
Då blir allt så mycket enklare då du ska konvertera polärt till rektangulärt (och vice versa).

Yngve skrev:
poijjan skrev:
Ange på formen a+bi de komplexa tal vars absolutbelopp och argument är; $\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{π}{4}$

Vart blir det fel ?
cos(-pi/4) = 1/rotenur(2)
sin(-pi/4) = -1/rotenur(2)
(1/rotenur(2))^2 = 1/2, inte 1/rotenur(2)

Det har du ju rätt i , men får ändå inte till det, det inringade står i facit.

dr_lund skrev:
Inledningsvis:
$z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\pi /4}$ .
Det är på sin plats att tipsa om de tre
” standardvinklarna” $\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}$ . Lär dig att härleda cosinus, sinus och tangens för dessa tre.
Då blir allt så mycket enklare då du ska konvertera polärt till rektangulärt (och vice versa).

Kan dra mig till minnes att jag har sett det där med e^ någon gång under matte4 , men minns inte hur man jobbade med det, har inte tagits upp i denna kurs (ännu)

Märkligt att ni inte har tagit upp de två polära formerna. Jag använder oftast e- formen.

poijjan skrev:
Yngve skrev:
poijjan skrev:
Ange på formen a+bi de komplexa tal vars absolutbelopp och argument är; $\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{π}{4}$

Vart blir det fel ?
cos(-pi/4) = 1/rotenur(2)
sin(-pi/4) = -1/rotenur(2)
(1/rotenur(2))^2 = 1/2, inte 1/rotenur(2)
Det har du ju rätt i , men får ändå inte till det, det inringade står i facit.

Du blandar ihop beräkningarna med hjälp av polär form och rektangulär form. Välj en av dem.

Beräkning med hjälp av polär form:

$z=\frac{1}{\sqrt{2}}(cos(-\frac{\pi}{4})+i\cdot sin(-\frac{\pi}{4}))=$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}-i\cdot\frac{1}{\sqrt{2}})=$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)=$

$=\frac{1}{2}(1-i)$

Beräkning med hjälp av rektangulär form:

$z=a+bi$

Med hjälp av din figur får vi att $a=x$ och att $b=-x$ .

Alltså är $z=\frac{1}{2}-i\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(1-i)$

Yngve skrev:
poijjan skrev:
Yngve skrev:
poijjan skrev:
Ange på formen a+bi de komplexa tal vars absolutbelopp och argument är; $\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{π}{4}$

Vart blir det fel ?
cos(-pi/4) = 1/rotenur(2)
sin(-pi/4) = -1/rotenur(2)
(1/rotenur(2))^2 = 1/2, inte 1/rotenur(2)
Det har du ju rätt i , men får ändå inte till det, det inringade står i facit.
Du blandar ihop beräkningarna med hjälp av polär form och rektangulär form. Välj en av dem.
Beräkning med hjälp av polär form:
$z=\frac{1}{\sqrt{2}}(cos(-\frac{\pi}{4})+i\cdot sin(-\frac{\pi}{4}))=$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}-i\cdot\frac{1}{\sqrt{2}})=$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)=$
$=\frac{1}{2}(1-i)$
Beräkning med hjälp av rektangulär form:
$z=a+bi$
Med hjälp av din figur får vi att $a=x$ och att $b=-x$ .
Alltså är $z=\frac{1}{2}-i\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(1-i)$

Aha, trodde att jag beräknade cos och sin när jag beräknade mina x i figuren.. slarvigt.. men har svårt att tänka klart, stressar över allt jag måste få in inför tenta. Tack för supporten!

poijjan skrev:

Aha, trodde att jag beräknade cos och sin när jag beräknade mina x i figuren.. slarvigt.. men har svårt att tänka klart, stressar över allt jag måste få in inför tenta. Tack för supporten!

Nej det du beräknade var bara kateternas längder i den rätvinkliga triangeln.

Men det går alldeles utmärkt att använda din fina figur till att beräkna de exakta värdena av sin(pi/4) och cos(pi/4).

Det gäller då bara att komma ihåg att sinus är motstående katet dividerat med hypotenusan, och cosinus är närliggande katet dividerat med hypotenusan.

Yngve skrev:
poijjan skrev:
Aha, trodde att jag beräknade cos och sin när jag beräknade mina x i figuren.. slarvigt.. men har svårt att tänka klart, stressar över allt jag måste få in inför tenta. Tack för supporten!
Nej det du beräknade var bara kateternas längder i den rätvinkliga triangeln.
Men det går alldeles utmärkt att använda din fina figur till att beräkna de exakta värdena av sin(pi/4) och cos(pi/4).
Det gäller då bara att komma ihåg att sinus är motstående katet dividerat med hypotenusan, och cosinus är närliggande katet dividerat med hypotenusan.

ahhhh!! hur kunde jag missa det ....

Måste vara en arbetsskada från att enbart ha jobbat i enhetscirkeln den senaste tiden :)

poijjan skrev:

ahhhh!! hur kunde jag missa det ....
Måste vara en arbetsskada från att enbart ha jobbat i enhetscirkeln den senaste tiden :)

Du har nu, kanske utan att veta det, själv kommit på knepet hur du enkelt kan ta fram de exakta värdena på sin(pi/4), cos(pi/4) och därmed tan(pi/4).

Knepet kallas "halv kvadrat" och går ut på att du ritar en kvadrat med sidlängd 1, delar kvadraten i två rätvinklinga trianglar med en diagonal och sedan gör exakt de manövrar som du nu har lärt dig.

Varje triangel har en rät vinkel och två vinklar som är pi/4. Hypotenusan är enligt Pythagoras sats $\sqrt{2}$ .

Du kan då enkelt beräkna både sin(pi/4) och cos(pi/4).

-------------

Det finns ett liknande knep som heter "halv liksidig triangel". Det är samma tankebana, men här utgår du istället från en liksidig triangel med sidlängd 1.

Dela triangeln i två rätvinkliga trianglar med hjälp av en bisektris.

Varje rätvinklig triangel har då en rät vinkel, en vinkel som är pi/3 och en vinkel som är pi/6. Hypotenusan är 1 och du vet att den korta kateten är hälften av det. Då kan du beräkna den långa katetens längd med Pythagoras sats och sedan sinus- och cosinusvärdena för både pi/3 och pi/6.

Och såklart även tangensvärdena för dessa vinklar.

---------

Det här är mycket användbart om du vill slippa lära dig dessa värden utantill och inte har ngn formelsamling till hands.

Har ju sett dom där trianglarna tidigare, och ibland jobbat med dom när det kommit uppgifter som "leder" en till dessa.. men först nu som poletten trillar ner och jag begriper fullt ut finessen med dom, känns som det här kommer underlätta väldigt mycket framöver :)

poijjan skrev:
Har ju sett dom där trianglarna tidigare, och ibland jobbat med dom när det kommit uppgifter som "leder" en till dessa.. men först nu som poletten trillar ner och jag begriper fullt ut finessen med dom, känns som det här kommer underlätta väldigt mycket framöver :)

Vad bra!

Jag använder dem hela tiden, men det är bara för att jag är för lat för att lära mig de exakta värdena utantill.