Ange minsta lösningen

Håll utkik efter "känsliga" steg i beräkningen. Division med noll, t.ex: du dividerar båda led med x-2, vilket innebär att resten av beräkningen förutsätter att $x\neq 2$. Så vad händer istället om x=2? Det fallet måste undersökas separat.

Ja, med basen 1 är ju 1 upphöjt i vad som helst alltid 1.

Då du kommer till raden $\sqrt{x^2+4x+3}=-x$ ser man att detta ger en orimlighet för alla positiva x-värden.

Så att din lösning x=-3/4 är ju korrekt ur ett matematiskt perspektiv men klarar inte villkoret x>0

Skaft skrev:

Håll utkik efter "känsliga" steg i beräkningen. Division med noll, t.ex: du dividerar båda led med x-2, vilket innebär att resten av beräkningen förutsätter att $x\neq 2$. Så vad händer istället om x=2? Det fallet måste undersökas separat.

Hur kan man göra istället?

Det är inte att du behöver byta ut några beräkningar. Men du behöver lägga till några, för din beräkning gör antaganden som inte behöver stämma.

Antagande ett: att potenserna är lika betyder att exponenterna är lika. Som Henning påpekade behöver det inte gälla, om basen är 1 (eller 0).

Antagande två: det som jag nämnde i mitt förra inlägg. När du delar med x-2 görs antagandet att x inte är 2.

Du får alltså tre specialfall som du behöver kontrollera. Finns några lösningar bland de x-värden som "skippats": x=0, x=1 och x=2?

I stället för att göra den 'känsliga' divisionen med en faktor som kan vara  0, så kan man flytta över alla termer till vänsterledet och försöka göra en faktoruppdelning.

Vi utgår från ledet $1+(2-x)·\sqrt{x^{2}4x+3}=x^2-2x+1$

Efter att ha tagit -1 i båda led får vi $(2-x)·\sqrt{x^2+4x+3}=x^2-2x$

'Flytta över' termerna i högra ledet vilket ger $(2-x)·\sqrt{x^2+4x+3} +2x-x^2=0$
Detta kan omformas till $(2-x)·\sqrt{x^2+4x+3}+x(2-x)=0$

Faktoruppdelning ger $(2-x)·(\sqrt{x^2+4x+3}+x)=0$

Den första faktorn ger lösningen $x_1=2$
och den andra enligt ovan $x_2=-\frac{3}{4}$, vilken förkastas ty x>0

Återstår den 'triviala' lösningen x=1, vilket är den minsta reella lösningen