Ange med hjälp av derivatan eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter till funktion
Hej! jag behöver hjälp med följande fråga: Ange med hjälp av derivatan eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter till funktionen f (x) = 3x^4 − 4x^3.
Deriverade först:
f'(x)=12x^3 - 12x^2
f'(x)=0
12x^3 - 12x^2 = 0
12x^2(x-1)=0
x1=0 x2=0 x3=1
Det är just här jag fastnar, vet ej hur jag ska fortsätta...
Så långt är det bra,
För att bestämma karaktären av de två punkterna kan du antingen använda andraderivatan eller göra en teckentabell
Ture skrev:Så långt är det bra,
För att bestämma karaktären av de två punkterna kan du antingen använda andraderivatan eller göra en teckentabell
Är andraderivatan f''(x)=36x^4-24x^3? Hur går jag tillväga nu för att hitta alla punkter? Känns som att jag ej riktigt förstår vad jag gör
Du har fått fram 2 intressanta punkter, x = 0 och x = 1 som kan vara max, min eller terrrass
Med andraderivatans tecken i punkterna kan vi bestämma vad de är.
andraderivatan < 0, för max
andraderivata = 0, för terrass
andraderivatan > 0 för min
Alltså deriverar vi 12x^3 - 12x^2 och får
36x^2-24x, sätt in x = 0, då är andraderivatan
36*0-24*0 = 0
sätt in x = 1, då är andraderivatan
36*1-24*1 = 36-24 = 12, dvs > 0
då vet vi att för x = 0 har funktionen en terrasspunkt och för x = 1 har funktionen ett lokalt minimum
Det är aldrig fel att plotta funktionen för att se om resultatet känns rimligt
En gardering: Det är inte 100% säkert att andraderivatans nollställe ger en terrasspunkt, det finns fall när det kan vara ett min, eller max, så man bör alltid kontrollera att det verkligen är en terrass och inget annat.
Tack för påpekandet Yngve!
Ture skrev:Du har fått fram 2 intressanta punkter, x = 0 och x = 1 som kan vara max, min eller terrrass
Med andraderivatans tecken i punkterna kan vi bestämma vad de är.
andraderivatan < 0, för max
andraderivata = 0, för terrass
andraderivatan > 0 för minAlltså deriverar vi 12x^3 - 12x^2 och får
36x^2-24x, sätt in x = 0, då är andraderivatan
36*0-24*0 = 0
sätt in x = 1, då är andraderivatan
36*1-24*1 = 36-24 = 12, dvs > 0
då vet vi att för x = 0 har funktionen en terrasspunkt och för x = 1 har funktionen ett lokalt minimum
Det är aldrig fel att plotta funktionen för att se om resultatet känns rimligt
En gardering: Det är inte 100% säkert att andraderivatans nollställe ger en terrasspunkt, det finns fall när det kan vara ett min, eller max, så man bör alltid kontrollera att det verkligen är en terrass och inget annat.
Tack för påpekandet Yngve!
Får fram att terrasspunkten är (0,0) och minimipunkten är (1,-1), är detta korrekt?
Ture skrev:Ja!
Tack för hjälpen! :)
