Ange matrisen

Hej,

Jag skulle behöva hjälp med följande uppgift:

Sambandet har jag redan klart för mig och det jag har svårt att förstå är hur jag ska tolka T(p) för att få fram de två baserna. Det jag har gjort är att först börja med matrisen [T]_B^B_ST- detta genom att ta fram T(1), T(x) och T(x²) och detta ska enligt https://www.geneseo.edu/~heap/courses/333/exam2_F2007_practice_sol.pdf (uppgift 8) bli kolumnerna i den nya matrisen. Stämmer detta?

Om ja, kan jag använda samma tillvägagångssätt för att ta fram den andra matrisen [T]_B´^B_ST? Det vill säga T(1), T(x+1) och T(1+x²)?

Hej Lund,

Polynomet $p(x)$ kan skrivas som linjärkombinationen

$p(x) = c_1 e_1(x)+c_2e_2(x)+c_3e_3(x)$

där $\{e_1,e_2,e_3\} = \mathcal{B}$ . Det gör att

$p(0) = c_1e_1(0)+c_2e_2(0)+c_3e_3(0) = c_1+0c_2+0c_3$

och att

$p(1) = c_1+c_2+c_3$ samt $p(-1) = c_1-c_2+c_3.$

När den linjära avbildningen $T$ verkar på c-vektorn produceras en matris.

$T(c_1e_1+c_2e_2+c_3e_3) = \begin{pmatrix}c_1+0c_2+0c_3&c_1+c_2+c_3\\c_1-c_2+c_3&c_1+0c_2+0c_3\end{pmatrix} = c_1\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}+c_3\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$

Detta indikerar att

$T(e_1) = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ och $T(e_2) = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ samt $T(e_3) = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$

Uttryckta i standardbasen för M_2 kan de tre matriserna skrivas på en form som ger den sökta representationsmatrisen.

$T(e_1)=m_1+m_2+m_3+m_4$ och $T(e_2)=m_2-m_3$ samt $T(e_3)=m_2+m_3.$

$A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&-1&0\\0&1&1&0\end{pmatrix}^t$

Tusen tack Albiki, jag hade fått samma matris för den första basen.

Svara

Visa senaste svar