Ange längden av linje som tangerar två cirklar

Detta är nog enklast att lösa med likformighet. Eftersom linjen mellan T1 och T2 tangerar cirklarna vet vi att linjen är vinkelrät mot radier i cirklarna.

Om vi sedan drar ut linjen mellan T1 och T2 till vänster i din bild och drar en linje genom mittpunkterna till cirklarna (x- axeln i din bild) bildas det två likformiga, rätvinkliga, trianglar.

Till detta vet vi att avståndet mellan mittpunkterna av cirklarna är R+r och därmed vet vi skillnaden i längd på hypotenusorna i trianglarna.

Ur detta borde vi kunna få avståndet mellan T1 och T2

 Bra att du har böjat med att rita en bild!

Jag skulle ta fram de båda tangeringspunkterna (0,r) respektive (r+R,R) och använda avståndsformeln.

Men tangeringspunkterna blir inte (0,r) och (r+R, R) de kommer att vara strax till vänster och nedanför dessa punkter. Där stämmer inte riktigt den bild Eric ritat.

Där har du tänkt ett steg längre än jag hade gjort, AndersW! I "mina" punkter är ju tangenterna horisontella, men det skall de ju inte vara.

Smaragdalena skrev:

Där har du tänkt ett steg längre än jag hade gjort, AndersW! I "mina" punkter är ju tangenterna horisontella, men det skall de ju inte vara.

 Standardråd 1a: Rita en bild! 

;)

Vid ytterligare eftertanke så har vi ytterligare en likformig triangel. Om vi ritar en linje från T1 parallell med x-axeln får vi en triangel med hypotenusan R+r en katet sträckan vi söker och den andra kateten R-r. Enkel sak då att bestämma ett uttryck för sträckan med Pythagoras sats.

Mitt lösningsförslag: https://www.desmos.com/calculator/elqilzlq54

2((R*r)^(1/2)) tror jag 

Ja, det är korrekt.

Sedan vill jag även lyfta att det är en trevlig aktivitet att utifrån själva lösnigsformeln försöka hitta ett bevis som ger uttrycket en mer direkt geometrisk tolkning och inspirera nya resultat. När man tittar på

$d = 2 \sqrt{Rr}$

så kan man uppmärksamma att $\sqrt{Rr}$ inte bara är "kvadratroten av produkten" utan har en geometrisk tolkning som det så kallade geometriska medelvärdet av R och r vilket kan konstrueras på flera sätt men där den kändaste sätten, förekommande exempelvis i Descartes magnus opus, är via en cirkel diameter med R + r och en vinkelrät linje till denna diameter. 

Då vårt problem har de två sträckorna R och r liggandes angränsandes i figuren blir det lovande att man i alla fall kan testa att skriva in denna konstruktion i figuren och se om det ger några idéer

Ah! Segmentet motsvarande det geometriska medelvärdet verkar ha sin övre punkt P på mitten av tangentsegmentet och symmetrierna antyder att geometriska medelvärdet alltså är hälften så lång som geometriska medelvärdet. Man kan från denna bild alltså göra en rimlig gissning att $d = 2\sqrt{Rr}$ stämmer men för att bevisa det ordentligt behöver man 

1. Verifiera att P verkligen ligger på tangeringslinjen. 

2. Att P ligger på mitten av tangeringslinjen

3. Att röda linjen verkligen är lika med halvorna