Ange koordinater som bildar ON-bas

Hej, 

jag har försökt lösa denna uppgift: låt $v_1=\frac{1}{3}(1,-2,2)$ . Ange två vektorer v2 och v3 i R^3 så att v1, v2, v3 bildar en ON-bas. Bestäm nya koordinaterna under basen v1,v2,v3 för vektorn u = (1,3,2).

Gjorde såhär:

Om v1 och v2 ska vara ortogonala ska skalärprodukten vara noll, dvs: 
$\frac{1}{3}(1,-2,2)(x_1,x_2,x_3) =0$

Kan exempelvis välja $v_2=(0,1,1)$. 

Normerar v2: $v_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(0, 1, 1).$

För att hitta v3, som ska vara ortogonal mot de tidigare vektorerna, kan kryssprodukten beräknas:
$\overline{v_1}\times \overline{v_2} =\hspace{0.17em}\frac{1}{3}(1,-2, 2) \times \frac{1}{\sqrt{2}}(0, 1, 2) =\frac{1}{3\sqrt{2}}(-4, -1, 1)$

För att bestämma basen för vektorn u, testade jag att ställa v1,v2,v3 som kolonner och multiplicera med u. Dvs:
$\left(\begin{array}{ccc}1/3& 0& -4/3\sqrt{2}\\ -2/3& 1/\sqrt{2}& -1/3\sqrt{2}\\ 2/3& 1/\sqrt{2}& 1/3\sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Men tycker att detta blir väldigt konstigt. Bestämmer jag v1, v2, v3 för u genom matrismultiplikation?