Ange ett komplext tal

Hur "förflyttas" ett tal i det komplexa talplanet om man multiplicerar det med i?

Smaragdalena skrev :

Hur "förflyttas" ett tal i det komplexa talplanet om man multiplicerar det med i?

Den förflyttas väl till den Imaginära delen på y talplanet.

På vilket sätt? Flyttas åt vänster? Flyttas uppåt? Spegelvänds?

Ta t ex talet x = 3+4i, pricka in det i komplexa talplanet, beräkna iz och pricka in det. Välj några andra värden på z och kolla vad som händer.

Smaragdalena skrev :

På vilket sätt? Flyttas åt vänster? Flyttas uppåt? Spegelvänds?

Ta t ex talet x = 3+4i, pricka in det i komplexa talplanet, beräkna iz och pricka in det. Välj några andra värden på z och kolla vad som händer.

Det blir spegelbilder av varandra

Nej. Pröva med några andra värden på z!

Smaragdalena skrev :

Nej. Pröva med några andra värden på z!

om man multiplicerar med i så förflyttas de ner 

Då får jag vara tydligare: Med vilken vinkel ändras argumentet när ett komplext tal multipliceras med i?

Smaragdalena skrev :

Då får jag vara tydligare: Med vilken vinkel ändras argumentet när ett komplext tal multipliceras med i?

Det blir negativt väl? om jag har en vinkel på den positiva sidan kommer den komplexa talet som multiplicerats med i vara på den negativa sidan 

Nej. Har du ritat, så som jag beskrev tidigare?

Smaragdalena skrev :

Nej. Har du ritat, så som jag beskrev tidigare?

Ja, det gjorde jag men då fick jag att det komplexa talet som multiplicerats med i hamnar 1 steg ner  och blir motsatsen 

Då har du räknat fel. Gör om, gör rätt!

Jag försökte men jag är inte säker.

Z= zi

iz= izi=-z

arg(iz)= arg(-z)= 180

Stämmer det?

Nej det stämmer inte.

Ta till exempel det komplexa talet $z_1 = 3+4i$.

Om vi multiplicerar detta tal med $i$ så får vi

$z_2=iz_1=i(3+4i)=3i+4i^2=$

$=3i-4=-4+3i$.

Markera $z_1$ och $z_2$ i det komplexa talplanet och visa din bild.

-----------------

Du kan sen gå vidare och på samma sätt se vad som händer om du fortsätter att multiplicera ovanstående tal med $i$, dvs skapa $z_3=iz_2$, $z_4=iz_3$ och så vidare.

Markera alla dessa tal i det komplexa talplannet och visa det samt dina uträkningar.

Ser du något mönster?

Z1 och z3

Z2 och z4

Är varandras spegelbild

Ja det stämmer. Rita även ut de fyra sträckorna från origo till var och en av de fyra komplexa talen.

Hur stor ät vinkeln mellan två närliggande sträckor?

90 grader

Ja det stämmer. Och alla sträckorna har samma längd.

Det gäller generellt: Ett komplext tal som multipliceras med $i$ behåller sitt belopp (avstånd från origo), men det "vrids" 90° moturs i det komplexa talplanet. 

Du kan använda det för att lösa problemet.

Du vill att talet $iz$ ska ha argumentet 180°.

Kan du då med hjälp av ovanstående komma fram till vilket argument talet $z$ ska ha?

Så blir arg(z)= 180-90=90

Och alla komplexa tal kommer att ha argumentet 180-n90

Ex.  Om iz = cos 180-isin180 då Z= cos90-isin90

Har jag uppfattat rätt? 🙃

elalat skrev:

Så blir arg(z)= 180-90=90

Ja det stämmer.

Och alla komplexa tal kommer att ha argumentet 180-n90

Det beror på vad n betyder.

Ex.  Om iz = cos 180-isin180 då Z= cos90-isin90

Har jag uppfattat rätt? 🙃

Ja, och det spelar ingen roll vilket belopp z har.

Alla komplexa tal z = r*(cos(90)+i*sin(90)) kommer att få argumentet 180° om de multipliceras med i.

n ät ett heltal som är större än 0

Ja, men absolutbeloppet måste inte vara 1.

elalat skrev:

n ät ett heltal som är större än 0

Då stämmer inte det.

Om n t.ex. är 2 så är z = r*(cos(180-2*90)+i*sin(180-2*90)) = r*(cos(0)+i*sin(0)) och iz blir då r*(cos(0+90)+i*sin(0+90)) = r*(cos(90)+i*sin(90)).

Detta tal har alltså argumentet 90°, inte 180°.

Stämmer detta?

Ja det stämmer.

Hur blir det om du skriver z på rektangulär form (a+bi) istället?