Ange ett argument

Vi vet att argumentet av z är pi/3:   z = R * e^(i* pi/3)  för något positivt R

Beräkna nu z^2000.

okej så vi har $z=R\times e^{i\times \pi /3}$

och vi vet att pi/3 är $\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$

men hur ska man då få fram R

ska man använda sig av de Moivres formel?

I så fall får man $R^n=\left(\left(\cos (n\times x\right)+i\sin (n\times x)\right)$ med n=2000 får vi

$R^{2000}\times \left(\left(\cos (2000x\right)+i\sin \left(2000x\right)\right)$

Där visade du själv hur man beräknar argumentet, eller hur?

ja jag tror att jag har ställt upp hur man ska räkna ut det men jag vet inte hur man ska få fram 2pi/3 ur uppställningen som jag gjorde

B.N. skrev :

ja jag tror att jag har ställt upp hur man ska räkna ut det men jag vet inte hur man ska få fram 2pi/3 ur uppställningen som jag gjorde

Du har att z = R*e^(i*pi/3).

Då är z^2000 = (R*e^(i*pi/3)) = R^2000 * e^(2000*i*pi/3).

Argumentet för z^2000 är alltså lika med 2000*pi/3.

Ta nu bort så många hela 2pi som det går från detta argument. Vad får du då kvar?

du har ju fått fram att x=pi/3 sätt in det

nu har du R^n=cos(2000pi/3)+i sin(2000pi/3)

Förenkla.

Tips: både cos och sin har perioden 2pi
tex är sin(2000pi/3)=sin(2pi/3)   förstår du varför?

EDIT: liiiiite sent

så kan man sätta 2000pi/3 och bara dela med 1000 eftersom 2000 pi bara motsvarar tusen varv runt enhetscirkeln för att sedan stanna i vinkeln 2pi/3?

nej.

men du kan ta 2000pi/3   och dra av n*2*pi (dvs ett fritt antal hela varv)
Det blir inte 1000 varv.

sin(2000pi/3)=sin(2000pi/3-2pi)=sin(2000pi/3-6pi/3)=sin(1994pi/3)

Men du kan ju inte sitta och ta bort ett varv åt gången, så hur gör du då?

Yngve skrev :

B.N. skrev :

ja jag tror att jag har ställt upp hur man ska räkna ut det men jag vet inte hur man ska få fram 2pi/3 ur uppställningen som jag gjorde

Du har att z = R*e^(i*pi/3).

Då är z^2000 = (R*e^(i*pi/3))^2000 = R^2000 * e^(2000*i*pi/3).

Argumentet för z^2000 är alltså lika med 2000*pi/3.

Ta nu bort så många hela 2pi som det går från detta argument. Vad får du då kvar?

EDIT - missade att sätta ut exponenten i mellansteget ovan (fetmarkerad) och nu går det inte längre att editera inlägget. Hoppas att det var självklart för alla att den skulle vara där.

B.N. skrev :

så kan man sätta 2000pi/3 och bara dela med 1000 eftersom 2000 pi bara motsvarar tusen varv runt enhetscirkeln för att sedan stanna i vinkeln 2pi/3?

Tips:

$2000·\frac{\pi }{3}=\frac{1000}{3}·2\pi =\left(333+\frac{1}{3}\right)·2\pi$