Ange en funktion
Hejsan, ange en funktion som uppfyller att f'(0)= 2 och f"(0)=4.
Mitt försök:
f(x) = ax^2+bx+c
f'(x) = 2ax + b
f'(0) = 2*a*0 + b = 2
b= 2
f"(x) = 2a
Här fastnar jag.
Yorkshire skrev :Hejsan, ange en funktion som uppfyller att f'(0)= 2 och f"(0)=4.
Mitt försök:
f(x) = ax^2+bx+c
f'(x) = 2ax + b
f'(0) = 2*a*0 + b = 2
b= 2
f"(x) = 2a
Här fastnar jag.
Bra början. Fortsätt bara.
Hur kan du välja a så att f''(0) = 4?
Jag tänkte att f"(x) gäller för x värden, men f"(x) = 2a, här finns det inget x därför vet jag inte vart jag ska stoppa in f"(0) i 2a. Förstår du vad jag menar?
Yorkshire skrev :Jag tänkte att f"(x) gäller för x värden, men f"(x) = 2a, här finns det inget x därför vet jag inte vart jag ska stoppa in f"(0) i 2a. Förstår du vad jag menar?
Ja, jag tror att du menar att eftersom f''(x) = 2a "inte har något x i sig" så vet du inte var du ska stoppa in värdet 0 istället för x, dvs du vet inte hur du ska formulera f''(0).
Svaret är att f''(x) är konstant och beror inte alls på värdet på x.
f''(x) har alltså värdet 2a för alla värden på x.
Det betyder i sin tur helt enkelt att f''(0) = 2a.
Villkoret f''(0) = 4 kan därför skrivas 2a = 4.
Blev det klarare då?
--------
Du kan se det så här:
Derivatan av en andragradsfunktion (vars graf är en parabel) blir en förstagradsfunktion (vars graf är en rät linje med lutning skild från 0).
Derivatan av en förstagradsfunktion (dvs andraderivatan av en andragradsfunktion) blir en konstant funktion (vars graf är en horisontell linje med lutning 0).
Om vi förutsätter att så gäller att:
- Funktionen f(x) = ax^2 + bx + c. Andragradsfunktion. Parabel.
- Förstaderivatan f'(x) = 2ax + b. Förstagradsfunktion. Rät linje med lutning 2a.
- Andraderivatan f''(x) = 2a. Konstant funktion. Horisontell linje på höjd 2a. Lutning 0.
Nu förstår jag mycket bättre tack!
