Ange en bas för U "snitt" V om U= [(1,1,1),(1,0,-1)]och V= [(2,1,1),(1,0,1)]
svaret i facit är (3,2,1)
Jag har försökt lösa uppgiften genom att kryss multiplicera båda vektorer i U och V, och fick då 2 nya vektorer (-1,2,-1) och (1,-1,-1). Jag antar att man behöver skriva båda på normalform och sedan skapa en ekvationssystem för att lösa ut skärningen mellan dessa 2 plan, och det är den delen jag behöver hjälp med, hur blir ekvation systemet ? ska jag ta en godtycklig punkt och stoppa i respektive normal ekvation eller ska jag sätta båda ekvationer = 0?
Snittet av dessa borde vara mängden vektorer som kan spännas upp av både U och V.
Det innebär att du behöver hitta vilka vektorer s, som uppfyller att .
(U och v är baser, (a,b) och (x,y) är kolumnvektorer, skriver från mobilen 😅).
Kryssprodukten av (-1, 2, -1) och (1, -1, -1) är (-3, -2, -1).
är det verkligen så man ska göra? ska man kryssa (-1, 2, -1) och (1, -1, -1)? och isåfall kan du förklara varför man gör det? jag vill gärna förstå mera geometriskt
Det går att göra så, det stämmer. U och V spänner upp varsitt plan, som har normalvektorerna (-1,2,-1) respektive (1,-1,-1), som du hittat.
Om dessa plan inte är parallella, har de någon skärningslinje, som motsvarar de vektorer som kan spännas upp av både U och V.
Jag hade, som du skrev om i trådstarten, gaussat dessa. Men det går faktiskt att köra en kryssprodukt igen. Varför fungerar då det? Jo, eftersom (-1,2,-1) är en normalvektor till planet som U spänner upp, innebär det att all vektorer som är vinkelräta mot (-1,2,-1) ligger alltså i detta plan. Alla vektorer som spänns upp av U är vinkelräta mot (-1,2,-1).
(1,-1,-1) är också en normalvektor till det plan som spänns upp av V. Alla vektorer som är vinkelräta mot (1,-1,-1) ligger därför i detta plan. Alla vektorer som spänns upp av V är vinkelräta mot (1,-1,-1).
Skärningen mellan dessa plan innehåller alla vektorer som är vinkelräta mot både (1,-1,-1) och (-1,2,-1). Hur hittar vi en vektor i rummet som är vinkelrät mot två andra vektorer? :).
genom att ta vektorprodukt, tack snälla nu förstår jag!
Japp! Vad bra! Som sagt, det är inte fel att gaussa heller. Då får vi att normalvektorerna spänner upp två plan:
(högerledet är noll då det rör sig om baser för vektorer – de kan alltid flyttas till att utgå från origo)
Gaussning ger:
Så basen för är vektorn (3,2,1).
Samma svar, lite olika metoder. Om det går att kryssa vektorerna är det ett snabbt och smidigt sätt att lösa frågan, om inte, får man knacka på hos herr Gauss. :)
Gud vad bra du förklarar! Tusen tack verkligen!
Varsågod, det var så lite så! :)
