Ange ekvationen för två andragradsekvationer

Eftersom du har där kurvan skär x-axeln har du nollställena för funktionen. Då är det enklast att sätta upp den i faktorform.

Då har du y = k(x-a)(x-b) där a och b är dina nollställen. K kan du sedan välja till vad som helst förutom 0. Då får du olika ekvationer.

y = k (x-a)(x-b)

Om vi säger att k är 2.

y = 2 (10-a)(20-b)

y = (20-2a)(40-2b)

Känns detta rimligt?

Du skall ersätta a och b med 10 och 20. dvs y = k(x-10)(x-20)

Sedan om du skall multiplicera in en faktor blir det i ena parentesen inte båda. Du bör dessutom multiplicera ihop parenteserna.

y = k(x-10)(x-20)

Om vi säger att k är 2.

y = 2(x-10)(x-20)

Vad gör jag sedan?

Multiplicera ihop parenteserna och multiplicera in k. Sedan gör du samma för ett annat värde på k.

Det går väl inte att använda kvadreringsreglerna? 

Nej det är vanlig parentesmultiplikation.

y = 2x-20 x 2x-40

y = 4x x 800

Hur kommer jag vidare utifrån detta?

Nej det blir det inte alls om du multiplicerar parenteserna.

Hur multiplicerar jag parenteserna då?

Det har du gjort förut. Kolla i boken, där hittar du ett avsnitt om detta.

Har kollat men hittar inget, utgår ifrån att man ska kunna det utantill men har glömt så det skulle underlätta om du kunde förklara för mig. 

Kolla denna länk en bit ned: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/algebra/polynom

y = (2x-20)(2x-40)

y = 2x² - 80 - 40x - 80

Kan detta stämma?

2x*2x = 4x²

2x * 40 = 80x

40 * 20 = 800

Du skall inte multiplicera in 2 i båda parenteserna! då sätter du k = 4 

y = 4x² + 80x - 40x + 800

$$\begin{gathered} y = \frac{4x^2 + 40x + 800}{4} \\ y = x^2 + 10x + 200 \end{gathered}$$

Så därmed får vi en andragradsekvation vilket syns här ovan! Jag behöver inte använda pq eftersom de inte kräver ett exakt svar utan hur andragradsekvationen ser ut om jag har förstått det rätt.

Förutom att det blir - 80x.

Ska fixa till det, så blir allt tydligare. 

$$\begin{gathered} y = 4x^2 - 80x - 40x + 800 \\ y = \frac{4x^2 - 120x + 800}{4} \\ y = x^2 - 30x + 200 \end{gathered}$$

Menar du så här?

Du skall egentligen inte dividera med 4. Då kunde du satt k=1 ifrån början. Du har två olika ekvationer vilket du ju skulle skriva så.

Så ekvationen blir bara y = 4x² - 40x + 800, men jag förstår inte varför man inte dividerar med 4 för att få det förenklat?

Därför att det är bara för x=10 och x=20 som de ger samma värde. För övrigt är de inte samma funktion. Plotta dem i en grafritande räknare så får du se.

Okej, nu ser jag. Men nu har vi väl bara en andragradsekvation som vi har tagit reda på?

Du har två, dessa två du nu plottat. Eftersom båda två du skall ta fram skall ha nollställena 10 och 20 är det bara k-värdet du kan förändra. Du har nu en med k=4 och en med k=1. Du kan ju kolla vad som händer om du sätter k = -2 till exempel.

Men jag kan bara se en andragradsekvation vilket är  y = 4x² - 40x + 800, vilken är den andra?

Den där du dividerade med 4, dvs y= x² - 30x +200 (I denna är k=1)

Hur kollar jag att k = -2, tänker att jag kanske ska sätta in det som x?

k = -2 kommer att ge en tredje ekvation: y = -2(x-10)(x-20) = -2x² +60x -400

y = -2(x-10)(x-20)

y = -2(x²-20x-10x+200)

y = -2x²+40x+20x-400

y = -2x²+60x-400

Just så ja.

Behöver jag inte göra något mer, jag tänker på de andra ekvationerna?

Nej, nu har du till och med tre ekvationer som skär x axeln i x = 10 och x = 20.

Okej, så vi är klara och fick fram tre andragradsekvationer. 

Undrar varför y = k(x-a)(x-b) är användbart vid just denna typen av frågor, hur kan man lista ut det?

Det sättet att skriva en andragradsfunktion är användbart när du vet nollställena (och ett värde till)  och skall sätta upp funktionen. Precis som i exemplet med golfbollen.

Är nollställena alltid x eller kan det vara något annat värde också?

För att använda denna skall det vara nollställen.

Tack för hjälpen!