Ange ekvationen för planet
Hej jag skulle behöva hjälp med denna:
Ange en ekvation för planet som innehåller punkterna P1 : (1, 1, 1), P2 : (−1, 1, 0) o ch P3 : (4, 0, 1).
Jag vet att det ska vara (x,y,z) = (1,1,1) men vet inte riktigt hur jag ska göra sen
(x, y, z) = (1, 1, 1) är en punkt (ev en vektor), inte ett plan.
Bilda vektorerna v1 = P1 till P2 och v2 = P1 till P3.
Om du bestämmer kryssprodukten mellan dem får du en vektor n = (a, b, c) som är vinkelrät mot v1 och mot v2.
v1 och v2 ligger i det sökta planet, så n är normalvektor till planet. Det betyder att planets ekvation kan skrivas ax+by+cz = k för någon konstant k.
Om du bestämmer k är du färdig.
I facit så står det (x,y,z)= (1,1,1) + s(-2,0,.1) + t(3,-1,0) men förstår inte riktigt hur det ska bli så. Jag vet att om man har två punkter så ska man ta p1-p2 men förstår inte riktigt hur man ska ha när det är tre.
Man kan skriva planets ekvation på parameterform, det är det de gjort här. Med mina beteckningar har de skrivit
(x, y, z) = P1 + s v1 + t v2
Här ska P1 tolkas som en vektor från origo till (1, 1, 1). Därifrån kan vi komma vart som helst i planet genom att gå s ”kvarter” i riktning v1 och t kvarter i riktning v2.
Man är inte så van vid ekvationer i parameterform från skolan. Enklare om du tänker på linjen
y = 3x +2 (1)
Vi ser att den går genom t ex (0, 2) och (1, 5). En vektor längs linjen är alltså (1, 3). Du kan komma vart du vill på linjen genom att först går från origo till (0, 2), dvs vektorn (0, 2). Sedan går du s steg längs linjen, dvs s(1, 3). Så linjens ekvation är
(x, y) = (0, 2) + s(1, 3)
eller
x = s
y = 2+3s
Prova att eliminera s ur ekvationerna ovan så ser du att du får (1). Parameterformen har fördelar, man kan använda den för att beskriva hur en partikel rör sig längs en linje. Men det blir ett litet kompendium om jag ska gå in på det.
