Ange det minsta reella tal a sådant att ekvationen x|x-a| = 3 har exakt en reell lösning.

Du kan ju skriva ekvationen som |x-a| = 3/x och skissa graferna y = |x-a| och y = 3/x.

Du ser då att de båda graferna alltid sär varandra exakt en gång då x > a och att den enda möjligheten att graferna skär varandra fler gånger är då det dessutom finns minst en skärningspunkt då x < a, vilket sker om a är tillräckligt stort.

Du behöver alltså endast söka efter det största värdet på a för vilket ekvationen a-x = 3/x saknar reella lösningar.

Det här kanske också fungerar:

x|x-a| har samma tecken som x, så det finns aldrig lösningar för x < 0. Vi kan alltså lika gärna fråga efter lösningar x > 0 till x(x-a) = 3.

x²-ax-3 = 0

$x = a/2 \pm \sqrt{a^2/4 + 3}$

Plustecknet ger alltid en lösning, så vi vill att minustecknet ska ge en negativ lösning. Med några enkla steg ser vi att så alltid är fallet.

Genom att använda kända samband mellan rötterna (x₁x₂ = -3) kan man slippa att utföra pq-metoden.

Börjar man rita blir man strax ganska förvirrad den här gången.

Laguna skrev:

Det här kanske också fungerar:

x|x-a| har samma tecken som x, så det finns aldrig lösningar för x < 0. Vi kan alltså lika gärna fråga efter lösningar x > 0 till x(x-a) = 3.

x²-ax-3 = 0

$x = a/2 \pm \sqrt{a^2/4 + 3}$

Plustecknet ger alltid en lösning, så vi vill att minustecknet ska ge en negativ lösning. Med några enkla steg ser vi att så alltid är fallet.

Genom att använda kända samband mellan rötterna (x₁x₂ = -3) kan man slippa att utföra pq-metoden.

Börjar man rita blir man strax ganska förvirrad den här gången.

Behöver man inte testa fallet för
|x-a| = -(x-a)?

-x(x-a) = 3
-x^2+ax=3
x^2-ax+3 = 0
x = (a-sqrt(a^2-12))/2

Detta kan också ge positiva rötter x, beronede på värdet av a, så som a = 4.

Jag tänkte nog bort det fallet.

För rötterna x₁ och x₂ till x²-ax+3 måste det gälla att x₁x₂ = 3, så antingen finns det två positiva lösningar eller ingen.

Jag tror ändå att det är bra att rita.

Annars är det lätt att missa att ekvationen alltid har minst en lösning och att den även kan ha två eller till och med tre lösningar, helt beroende på vilket värde a har.

Röd graf $\frac{3}{x}$, blå graf $|x-a|$.

Exempel 1, a = 2, en lösning:

Exempel 2, a = 5, tre lösningar:

Med den fiffiga omskrivningen och ritningen blev det mycket åskådligt.

Snygg grafisk lösning. Men vad är det tänkt att man skall svara?

Om jag inte tänker helt galet så gäller det att

a $>$ 2$\sqrt{3}$: tre lösningar

a = $2\sqrt{3}$: två lösningar

a < $2\sqrt{3}$: en lösning.

Så det finns väl inget minsta reellt tal a så att ekvationen har exakt en lösning? Men det finns ett minsta reellt tal a så att ekvationen har mer än en lösning. Är frågan rätt avskriven?

PATENTERAMERA skrev:

Snygg grafisk lösning. Men vad är det tänkt att man skall svara?

Om jag inte tänker helt galet så gäller det att

a $>$ 2$\sqrt{3}$: tre lösningar

a = $2\sqrt{3}$: två lösningar

a < $2\sqrt{3}$: en lösning.

Så det finns väl inget minsta reellt tal a så att ekvationen har exakt en lösning? Men det finns ett minsta reellt tal a så att ekvationen har mer än en lösning. Är frågan rätt avskriven?

Rätt svar är:
"det finns inget minsta tal med den egenskapen",

vilket stämmer med lösningarna här.

Var kommer frågan ifrån? Jag tycker den var ovanligt krånglig för att vara en gymnasiefråga.

Laguna skrev:

Var kommer frågan ifrån? Jag tycker den var ovanligt krånglig för att vara en gymnasiefråga.

Matematik- och fysikprovet 2015