Ange den minsta lösningen.

Det här stämmer inte.

Om $1-|x|\geq0$ så är $|x|\leq1$

Jag tycker att din ansats är bra, men att lösningen kan förenklas rejält.

Förslag:

• Vi antar att vi håller oss till reella tal.
• Kalla $f(x)=1-|x|$ och $g(x)=x-1$. Olikheten kan då skrivas $\sqrt{f(x)}\leq g(x)$.
• Det måste gälla att $f(x)\geq0$, dvs $1-|x|\geq0$, dvs $|x|\leq1$, vilket ger oss följande begränsning av lösningsmängden: $-1\leq x\leq 1$.
• För att olikheten ska kunna gälla måste $g(x)\geq0$, dvs $x-1\geq0$, dvs $x\geq1$, vilket är ytterligare en begränsning av lösningsmängden.
• Det enda värde på $x$ som uppfyller båda begränsningarna är $x=1$, vilket inte bara är den minsta lösningen, utan även den enda lösningen.

Yngve skrev:

Jag tycker att din ansats är bra, men att lösningen kan förenklas rejält.

Förslag:

• Vi antar att vi håller oss till reella tal.
• Kalla $f(x)=1-|x|$ och $g(x)=x-1$. Olikheten kan då skrivas $\sqrt{f(x)}\leq g(x)$.
• Det måste gälla att $f(x)\geq0$, dvs $1-|x|\geq0$, dvs $|x|\leq1$, vilket ger oss följande begränsning av lösningsmängden: $-1\leq x\leq 1$.
• För att olikheten ska kunna gälla måste $g(x)\geq0$, dvs $x-1\geq0$, dvs $x\geq1$, vilket är ytterligare en begränsning av lösningsmängden.
• Det enda värde på $x$ som uppfyller båda begränsningarna är $x=1$, vilket inte bara är den minsta lösningen, utan även den enda lösningen.

Tack för ditt svar.

Ska man inte också lösa olikheten och få ytterligare begränsningar?

Får 1 - abs(x) <= x^2 - 2x + 1,

hur löser man denna då vi har ett absolutbelopp?

Annanspizza skrev:

Tack för ditt svar.

Ska man inte också lösa olikheten och få ytterligare begränsningar?

Får 1 - abs(x) <= x^2 - 2x + 1,

hur löser man denna då vi har ett absolutbelopp?

Nej du behöver inte lösa olikheten.

Resonemanget jag gav resulterade i att den enda möjliga lösningen var x = 1.

Det enda som ytterligare begränsningar då skulle kunna ge oss utöver det vi redan vet är om även x = 1 skulle vara en ogiltig lösning.

Men ett betydligt snabbare sätt att ta reda på det är att helt enkelt kontrollera om x = 1 är en giltig lösning (vilket det är).

======== Till din andra fråga

Man bör vara lite vaksam när det gäller olikkheter och kvadrering.

Om vi har att $a\leq b$ så gäller det inte i allmänhet att $a^2\leq b^2$.

T.ex.gäller det att $-2\leq1$ men inte att $(-2)^2\leq 1^2$.

I fallet med olikheten från uppgiften så gäller det, men bara eftersom båda led är positiva tal.

Om du ska lösa olikheten $1-|x|\leq x^2-2x+1$ så kan du dela upp det i två olika fall:

• $|x|<0$: Då är $|x|=-x$ och olikheten kan skrivas $1-(-x)\leq x^2-2x+1$
• $|x|\geq0$: Då är $|x|=x$ och olikheten kan skrivas $1-x\leq x^2-2x+1$

Lös de båda olikheterna var för sig och kontrollera att lösningarna återfinns i de begränsade intervallen.

Yngve skrev:

Annanspizza skrev:

Tack för ditt svar.

Ska man inte också lösa olikheten och få ytterligare begränsningar?

Får 1 - abs(x) <= x^2 - 2x + 1,

hur löser man denna då vi har ett absolutbelopp?

Nej du behöver inte lösa olikheten.

Resonemanget jag gav resulterade i att den enda möjliga lösningen var x = 1.

Det enda som ytterligare begränsningar då skulle kunna ge oss utöver det vi redan vet är om även x = 1 skulle vara en ogiltig lösning.

Men ett betydligt snabbare sätt att ta reda på det är att helt enkelt kontrollera om x = 1 är en giltig lösning (vilket det är).

======== Till din andra fråga

Man bör vara lite vaksam när det gäller olikkheter och kvadrering.

Om vi har att $a\leq b$ så gäller det inte i allmänhet att $a^2\leq b^2$.

T.ex.gäller det att $-2\leq1$ men inte att $(-2)^2\leq 1^2$.

I fallet med olikheten från uppgiften så gäller det, men bara eftersom båda led är positiva tal.

Om du ska lösa olikheten $1-|x|\leq x^2-2x+1$ så kan du dela upp det i två olika fall:

• $|x|<0$: Då är $|x|=-x$ och olikheten kan skrivas $1-(-x)\leq x^2-2x+1$
• $|x|\geq0$: Då är $|x|=x$ och olikheten kan skrivas $1-x\leq x^2-2x+1$

Lös de båda olikheterna var för sig och kontrollera att lösningarna återfinns i de begränsade intervallen.

Intressant.

Har stött på uppgifter där man även måste lösa själva olikheten för att få fram rätt svar.

Exempelvis uppgift 10 från https://webbpublicering360.portal.chalmers.se/Extern/Home/Download?recordnor=725684%262019_07%26855820_1_1.PDF%26ex

Om vi låter f(x) = x^2 - 1 och g(x) = 3 och använder samma lösningsmetod som vi gjort ovan får jag att x >= 1 och x<=1 vilket i sig ger 2 lösningar, men om man även löser olikheten kan lsningarna skrivas -2 < x <= -1 och 1 <= x < 2 vilket även ger 2 lösningar. Är det inte möjligt att det skulle kunna ge ytterligare begränsningar/lösningar?

Kanske inte formulerat mig korrekt nu men du kanske menar vad jag tycker är lite oklart?

Ja för att lösa den uppgiften så måste du även lösa olikheten för att begränsa lösningsmängden eftersom $f(x)\geq0$ ger oändligt många heltalslösningar $x\leq -1$ och $x\geq1$ 

Olikheten $(f(x))^2<3$ ger då begränsningen $-2<x<2$.

Tillsammans ger dessa båda begränsningar att de enda heltalslösningarna är $x=\pm1$.

Yngve skrev:

Ja för att lösa den uppgiften så måste du även lösa olikheten för att begränsa lösningsmängden eftersom $f(x)\geq0$ ger oändligt många heltalslösningar $x\leq -1$ och $x\geq1$ 

Olikheten $(f(x))^2<3$ ger då begränsningen $-2<x<2$.

Tillsammans ger dessa båda begränsningar att de enda heltalslösningarna är $x=\pm1$.

Exakt, men varför är det inte nödvändigt att lösa olikheten för denna uppgift?

Det är nödvändigt att lösa olikheten för denna sista uppgift, men inte för den första. Jag förklarade varför i detta svar.

Var det något i det du vill att jag förklarar ytterligare?