Ange den matris som tillhör Q i bas B
Hej!
Hur vet man att man ska använda U^-1SU ? Jag tolkade som att vi ska gå från basen Q till B för att hitta basbytematrisen och fick detta som resultat
Kalla standardbasen E. [Q]E är den kvadratiska formens matris relativt E - kallas S i problemet. [Q]B är den kvadratiska formens matris relativt basen B.
Följande samband gäller då
[Q]B=PTB→E[Q]EPB→E. Där PB→E är basbytesmatris från B till E.
PB→E=1√2[1-111].
PATENTERAMERA skrev:Kalla standardbasen E. [Q]E är den kvadratiska formens matris relativt E - kallas S i problemet. [Q]B är den kvadratiska formens matris relativt basen B.
Följande samband gäller då
[Q]B=PTB→E[Q]EPB→E. Där PB→E är basbytesmatris från B till E.
PB→E=1√2[1-111].
Jag förstår inte hur man vet att givna basen är i basen E. Och vad menas med kvadratiska formens matris relativt standardbasen som du kallar Q_E för? Den är absolut inte i standardbasen dvs (e1,e2,e3). Sen säger du att P_B=>E är basbytematrisen från B till E, hur vet du det? Står inte angivet i frågan.
Nej det står inte explicit att det är basbytesmatrisen. Men för att få basbytesmatrisen stoppar du in som kolumner den nya basens basvektorer, uttrycka i basen E.
Notera att i allmänhet är det inversen som ska användas, men i detta fall är basen en ON-bas så basbytesmatrisen blir då en ortonormal matris, och för dessa matriser är inversen samma som transponerade matrisen
Hondel skrev:Nej det står inte explicit att det är basbytesmatrisen. Men för att få basbytesmatrisen stoppar du in som kolumner den nya basens basvektorer, uttrycka i basen E.
Notera att i allmänhet är det inversen som ska användas, men i detta fall är basen en ON-bas så basbytesmatrisen blir då en ortonormal matris, och för dessa matriser är inversen samma som transponerade matrisen
Okej basically basen U gick från basen E till basen B och Q är i basen E men vi ska komma till basen B dvs Q_E=>B så vi behöver ha konverterat basen U från B till E(inversen) och sen multiplicera med Q som redan är i basen E och sen multiplicera den med U som var i basen B redan.
U är inte en bas, det är en basbytesmatris.
Matrisen U tar en vektor, [x]B, i basen B, och ger dig en vektor i den "normala" basen E, så här
[x]E=U[x]B
Man kan ställa upp motsvarande transformation för matrisen S
[S]B=U-1[S]EU
[S]B är alltså matrisen [S]E för den kvadratiska formen, fast uttryckt i basen B
För att vara extra tydlig med åt vilket håll basbytesmatrisen U verkar kan man använda beteckningen
UB→E.
För att transformera åt andra hållet behöver vi matrisen UE→B=U-1. Om basbytesmatrisen är ortogonal kan vi utnytttja att U-1=UT
Ibland använder man prim för att beteckna en primmad bas, då kan det bli lite visuellt enklare. Här är samma formler som ovan:
x=Ux'
Det vi gör är alltså att uttrycka matrisen för den kvadratiska formen i en ny bas (en egenvärdesbas). I denna nya bas blir det enklare att genomskåda den kvadratiska formens egenskaper.
Här är en härledning från en gammal tråd. Notera att i formeln för transformation av kvadratiska former så skall det vara transponatet och inte inversen. Men om man har ON-baser, som här, så märker man inte den skillnaden.
Man måste inte begränsa sig till en ortogonalbas när det gäller kvadratiska former.
Det finns i huvudsak två "tolkningar" av den bilinjära avbildningen, en där man tar hänsyn till att det transponerade argumentet är kovariant och en där man låter båda argumenten vara kontravarianta.
Båda är samma invariant (tensorskalär). Om man väljer att transformera till en ortogonal egenvärdesbas får man använda eftersom existensen av en sådan garanteras av spektralsatsen. Men det gäller inte allmänt att en kontravariant vektors transponat efter transformation är dess kovarianta motsvarighet.
