Ange den matris som tillhör Q i bas B

Kalla standardbasen E. ${\left[Q\right]}_E$ är den kvadratiska formens matris relativt E - kallas S i problemet. ${\left[Q\right]}_B$ är den kvadratiska formens matris relativt basen B.

Följande samband gäller då

${\left[Q\right]}_B=P_{B\to E}^T{\left[Q\right]}_E{P}_{B\to E}$. Där $P_{B\to E}$ är basbytesmatris från B till E.

$P_{B\to E}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$.

PATENTERAMERA skrev:

Kalla standardbasen E. ${\left[Q\right]}_E$ är den kvadratiska formens matris relativt E - kallas S i problemet. ${\left[Q\right]}_B$ är den kvadratiska formens matris relativt basen B.

Följande samband gäller då

${\left[Q\right]}_B=P_{B\to E}^T{\left[Q\right]}_E{P}_{B\to E}$. Där $P_{B\to E}$ är basbytesmatris från B till E.

$P_{B\to E}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$.

Jag förstår inte hur man vet att givna basen är i basen E. Och vad menas med kvadratiska formens matris relativt standardbasen som du kallar Q_E för? Den är absolut inte i standardbasen dvs (e1,e2,e3). Sen säger du att P_B=>E är basbytematrisen från B till E, hur vet du det? Står inte angivet i frågan.

Nej det står inte explicit att det är basbytesmatrisen. Men för att få basbytesmatrisen stoppar du in som kolumner den nya basens basvektorer, uttrycka i basen E.

Notera att i allmänhet är det inversen som ska användas, men i detta fall är basen en ON-bas så basbytesmatrisen blir då en ortonormal matris, och för dessa matriser är inversen samma som transponerade matrisen 

Hondel skrev:

Nej det står inte explicit att det är basbytesmatrisen. Men för att få basbytesmatrisen stoppar du in som kolumner den nya basens basvektorer, uttrycka i basen E.

 

Notera att i allmänhet är det inversen som ska användas, men i detta fall är basen en ON-bas så basbytesmatrisen blir då en ortonormal matris, och för dessa matriser är inversen samma som transponerade matrisen 

Okej basically basen U gick från basen E till basen B och Q är i basen E men vi ska komma till basen B dvs Q_E=>B så vi behöver ha konverterat basen U från B till E(inversen) och sen multiplicera med Q som redan är i basen E och sen multiplicera den med U som var i basen B redan. 

$U$ är inte en bas, det är en basbytesmatris.

Matrisen $U$ tar en vektor, $[x]_B$, i basen $B$, och ger dig en vektor i den "normala" basen $E$, så här

$[x]_E=U[x]_B$

Man kan ställa upp motsvarande transformation för matrisen $S$

$[S]_B=U^{-1}[S]_EU$

$[S]_B$ är alltså matrisen $[S]_E$ för den kvadratiska formen, fast uttryckt i basen $B$

För att vara extra tydlig med åt vilket håll basbytesmatrisen $U$ verkar kan man använda beteckningen

$U_{B\to E}$.

För att transformera åt andra hållet behöver vi matrisen $U_{E\to B}=U^{-1}$. Om basbytesmatrisen är ortogonal kan vi utnytttja att $U^{-1}=U^T$

Ibland använder man prim för att beteckna en primmad bas, då kan det bli lite visuellt enklare. Här är samma formler som ovan:

$x=Ux^{\prime}$

$x^{\prime}=U^{-1}x$

$S^{\prime}=U^{-1}SU$

$S^{\prime}=U^TSU$

Det vi gör är alltså att uttrycka matrisen för den kvadratiska formen i en ny bas (en egenvärdesbas). I denna nya bas blir det enklare att genomskåda den kvadratiska formens egenskaper.

Här är en härledning från en gammal tråd. Notera att i formeln för transformation av kvadratiska former så skall det vara transponatet och inte inversen. Men om man har ON-baser, som här, så märker man inte den skillnaden.

Man måste inte begränsa sig till en ortogonalbas när det gäller kvadratiska former.

Det finns i huvudsak två "tolkningar" av den bilinjära avbildningen, en där man tar hänsyn till att det transponerade argumentet är kovariant och en där man låter båda argumenten vara kontravarianta.

$q=Q^i_{\,\,\,j}x_ix^j$

$q=Q_{ij} x^i x^j$

Båda är samma invariant (tensorskalär). Om man väljer att transformera $q$ till en ortogonal egenvärdesbas får man använda $P^T=P^{-1}$ eftersom existensen av en sådan $P^TQP$ garanteras av spektralsatsen. Men det gäller inte allmänt att en kontravariant vektors transponat efter transformation är dess kovarianta motsvarighet.